Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41876 / 10420
↖ ↑ ↗
← N 76.613815°
E 50.031738°		 ← 141.42 m → N 76.613815°
E 50.037232°		 →
↑
141.44 m
↓
↑
141.44 m
↓
N 76.612543°
E 50.031738°		 ← 141.43 m →
20 003 m²		 N 76.612543°
E 50.037232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638984680175781 y=0.159004211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638984680175781 × 216)
    floor (0.638984680175781 × 65536)
    floor (41876.5)     		tx = 41876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159004211425781 × 216)
    floor (0.159004211425781 × 65536)
    floor (10420.5)     		ty = 10420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41876 / 10420 ti = "16/41876/10420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41876/10420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41876 ÷ 216
    41876 ÷ 65536     		x = 0.63897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10420 ÷ 216
    10420 ÷ 65536     		y = 0.15899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63897705078125 × 2 - 1) × π
    0.2779541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87321856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15899658203125 × 2 - 1) × π
    0.6820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14258766541803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87321856} λ = 0.87321856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14258766541803))-π/2
    2×atan(8.52145981044151)-π/2
    2×1.45397982117677-π/2
    2.90795964235353-1.57079632675     		φ = 1.33716332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87321856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33716332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.613815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41876 KachelY 10420 0.87321856 1.33716332 50.031738 76.613815
    Oben rechts KachelX + 1 41877 KachelY 10420 0.87331444 1.33716332 50.037232 76.613815
    Unten links KachelX 41876 KachelY + 1 10421 0.87321856 1.33714112 50.031738 76.612543
    Unten rechts KachelX + 1 41877 KachelY + 1 10421 0.87331444 1.33714112 50.037232 76.612543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33716332-1.33714112) × R
    2.21999999998612e-05 × 6371000     		dl = 141.436199999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33716332-1.33714112) × R
    2.21999999998612e-05 × 6371000     		dr = 141.436199999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87321856-0.87331444) × cos(1.33716332) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231513347876625 × 6371000     		do = 141.420271190262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87321856-0.87331444) × cos(1.33714112) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231534944683921 × 6371000     		du = 141.433463631962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33716332)-sin(1.33714112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231513347876625-0.231534944683921)×R²
    abs(0.87331444-0.87321856)×2.15968072959094e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.15968072959094e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.15968072959094e-05×40589641000000     		ar = 20002.8787050367m²