Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41874 / 10416
↖ ↑ ↗
← N 76.618900°
E 50.020752°		 ← 141.35 m → N 76.618900°
E 50.026245°		 →
↑
141.37 m
↓
↑
141.37 m
↓
N 76.617629°
E 50.020752°		 ← 141.37 m →
19 984 m²		 N 76.617629°
E 50.026245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638954162597656 y=0.158943176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638954162597656 × 216)
    floor (0.638954162597656 × 65536)
    floor (41874.5)     		tx = 41874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158943176269531 × 216)
    floor (0.158943176269531 × 65536)
    floor (10416.5)     		ty = 10416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41874 / 10416 ti = "16/41874/10416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41874/10416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41874 ÷ 216
    41874 ÷ 65536     		x = 0.638946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10416 ÷ 216
    10416 ÷ 65536     		y = 0.158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638946533203125 × 2 - 1) × π
    0.27789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87302682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    0.68212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14297116061499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87302682} λ = 0.87302682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14297116061499))-π/2
    2×atan(8.52472837604946)-π/2
    2×1.45402420502621-π/2
    2.90804841005243-1.57079632675     		φ = 1.33725208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87302682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33725208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.618900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41874 KachelY 10416 0.87302682 1.33725208 50.020752 76.618900
    Oben rechts KachelX + 1 41875 KachelY 10416 0.87312269 1.33725208 50.026245 76.618900
    Unten links KachelX 41874 KachelY + 1 10417 0.87302682 1.33722989 50.020752 76.617629
    Unten rechts KachelX + 1 41875 KachelY + 1 10417 0.87312269 1.33722989 50.026245 76.617629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33725208-1.33722989) × R
    2.2190000000144e-05 × 6371000     		dl = 141.372490000918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33725208-1.33722989) × R
    2.2190000000144e-05 × 6371000     		dr = 141.372490000918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87302682-0.87312269) × cos(1.33725208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231426998420648 × 6371000     		do = 141.352780283138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87302682-0.87312269) × cos(1.33722989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231448585955599 × 6371000     		du = 141.365965685471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33725208)-sin(1.33722989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231426998420648-0.231448585955599)×R²
    abs(0.87312269-0.87302682)×2.15875349516281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15875349516281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15875349516281e-05×40589641000000     		ar = 19984.3265446162m²