Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41874 / 10414
↖ ↑ ↗
← N 76.621443°
E 50.020752°		 ← 141.33 m → N 76.621443°
E 50.026245°		 →
↑
141.31 m
↓
↑
141.31 m
↓
N 76.620172°
E 50.020752°		 ← 141.34 m →
19 972 m²		 N 76.620172°
E 50.026245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638954162597656 y=0.158912658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638954162597656 × 216)
    floor (0.638954162597656 × 65536)
    floor (41874.5)     		tx = 41874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158912658691406 × 216)
    floor (0.158912658691406 × 65536)
    floor (10414.5)     		ty = 10414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41874 / 10414 ti = "16/41874/10414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41874/10414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41874 ÷ 216
    41874 ÷ 65536     		x = 0.638946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10414 ÷ 216
    10414 ÷ 65536     		y = 0.158905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638946533203125 × 2 - 1) × π
    0.27789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87302682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158905029296875 × 2 - 1) × π
    0.68218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14316290821347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87302682} λ = 0.87302682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14316290821347))-π/2
    2×atan(8.52636312896823)-π/2
    2×1.45404639074214-π/2
    2.90809278148428-1.57079632675     		φ = 1.33729645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87302682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33729645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.621443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41874 KachelY 10414 0.87302682 1.33729645 50.020752 76.621443
    Oben rechts KachelX + 1 41875 KachelY 10414 0.87312269 1.33729645 50.026245 76.621443
    Unten links KachelX 41874 KachelY + 1 10415 0.87302682 1.33727427 50.020752 76.620172
    Unten rechts KachelX + 1 41875 KachelY + 1 10415 0.87312269 1.33727427 50.026245 76.620172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33729645-1.33727427) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dl = 141.30877999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33729645-1.33727427) × R
    2.21799999999828e-05 × 6371000     		dr = 141.30877999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87302682-0.87312269) × cos(1.33729645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231383832737519 × 6371000     		do = 141.326415211799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87302682-0.87312269) × cos(1.33727427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231405410771742 × 6371000     		du = 141.339594811203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33729645)-sin(1.33727427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231383832737519-0.231405410771742)×R²
    abs(0.87312269-0.87302682)×2.15780342229244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15780342229244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15780342229244e-05×40589641000000     		ar = 19971.5945126618m²