Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41873 / 10415
↖ ↑ ↗
← N 76.620172°
E 50.015259°		 ← 141.35 m → N 76.620172°
E 50.020752°		 →
↑
141.37 m
↓
↑
141.37 m
↓
N 76.618900°
E 50.015259°		 ← 141.37 m →
19 985 m²		 N 76.618900°
E 50.020752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638938903808594 y=0.158927917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638938903808594 × 216)
    floor (0.638938903808594 × 65536)
    floor (41873.5)     		tx = 41873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158927917480469 × 216)
    floor (0.158927917480469 × 65536)
    floor (10415.5)     		ty = 10415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41873 / 10415 ti = "16/41873/10415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41873/10415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41873 ÷ 216
    41873 ÷ 65536     		x = 0.638931274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10415 ÷ 216
    10415 ÷ 65536     		y = 0.158920288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638931274414062 × 2 - 1) × π
    0.277862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87293094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158920288085938 × 2 - 1) × π
    0.682159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14306703441423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87293094} λ = 0.87293094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14306703441423))-π/2
    2×atan(8.52554571332635)-π/2
    2×1.4540352984015-π/2
    2.908070596803-1.57079632675     		φ = 1.33727427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87293094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.015259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33727427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.620172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41873 KachelY 10415 0.87293094 1.33727427 50.015259 76.620172
    Oben rechts KachelX + 1 41874 KachelY 10415 0.87302682 1.33727427 50.020752 76.620172
    Unten links KachelX 41873 KachelY + 1 10416 0.87293094 1.33725208 50.015259 76.618900
    Unten rechts KachelX + 1 41874 KachelY + 1 10416 0.87302682 1.33725208 50.020752 76.618900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33727427-1.33725208) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dl = 141.372489999503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33727427-1.33725208) × R
    2.2189999999922e-05 × 6371000     		dr = 141.372489999503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87293094-0.87302682) × cos(1.33727427) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.231405410771742 × 6371000     		do = 141.354337649834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87293094-0.87302682) × cos(1.33725208) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.231426998420648 × 6371000     		du = 141.367524497118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33727427)-sin(1.33725208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231405410771742-0.231426998420648)×R²
    abs(0.87302682-0.87293094)×2.15876489051414e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.15876489051414e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.15876489051414e-05×40589641000000     		ar = 19984.5468154037m²