Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41872 / 10427
↖ ↑ ↗
← N 76.604909°
E 50.009766°		 ← 141.50 m → N 76.604909°
E 50.015259°		 →
↑
141.50 m
↓
↑
141.50 m
↓
N 76.603637°
E 50.009766°		 ← 141.51 m →
20 023 m²		 N 76.603637°
E 50.015259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638923645019531 y=0.159111022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638923645019531 × 216)
    floor (0.638923645019531 × 65536)
    floor (41872.5)     		tx = 41872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159111022949219 × 216)
    floor (0.159111022949219 × 65536)
    floor (10427.5)     		ty = 10427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41872 / 10427 ti = "16/41872/10427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41872/10427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41872 ÷ 216
    41872 ÷ 65536     		x = 0.638916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10427 ÷ 216
    10427 ÷ 65536     		y = 0.159103393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638916015625 × 2 - 1) × π
    0.27783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87283507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159103393554688 × 2 - 1) × π
    0.681793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14191654882335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87283507} λ = 0.87283507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14191654882335))-π/2
    2×atan(8.51574283594463)-π/2
    2×1.45390210958526-π/2
    2.90780421917051-1.57079632675     		φ = 1.33700789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87283507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33700789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.604909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41872 KachelY 10427 0.87283507 1.33700789 50.009766 76.604909
    Oben rechts KachelX + 1 41873 KachelY 10427 0.87293094 1.33700789 50.015259 76.604909
    Unten links KachelX 41872 KachelY + 1 10428 0.87283507 1.33698568 50.009766 76.603637
    Unten rechts KachelX + 1 41873 KachelY + 1 10428 0.87293094 1.33698568 50.015259 76.603637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33700789-1.33698568) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dl = 141.499910000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33700789-1.33698568) × R
    2.22100000000225e-05 × 6371000     		dr = 141.499910000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87283507-0.87293094) × cos(1.33700789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231664552314893 × 6371000     		do = 141.497875296459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87283507-0.87293094) × cos(1.33698568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23168615805095 × 6371000     		du = 141.511071815804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33700789)-sin(1.33698568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231664552314893-0.23168615805095)×R²
    abs(0.87293094-0.87283507)×2.16057360563626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16057360563626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16057360563626e-05×40589641000000     		ar = 20022.8702735785m²