Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41871 / 10419
↖ ↑ ↗
← N 76.615086°
E 50.004272°		 ← 141.41 m → N 76.615086°
E 50.009766°		 →
↑
141.37 m
↓
↑
141.37 m
↓
N 76.613815°
E 50.004272°		 ← 141.42 m →
19 992 m²		 N 76.613815°
E 50.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638908386230469 y=0.158988952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638908386230469 × 216)
    floor (0.638908386230469 × 65536)
    floor (41871.5)     		tx = 41871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158988952636719 × 216)
    floor (0.158988952636719 × 65536)
    floor (10419.5)     		ty = 10419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41871 / 10419 ti = "16/41871/10419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41871/10419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41871 ÷ 216
    41871 ÷ 65536     		x = 0.638900756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10419 ÷ 216
    10419 ÷ 65536     		y = 0.158981323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638900756835938 × 2 - 1) × π
    0.277801513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87273919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158981323242188 × 2 - 1) × π
    0.682037353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14268353921727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87273919} λ = 0.87273919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14268353921727))-π/2
    2×atan(8.52227683433358)-π/2
    2×1.45399091869156-π/2
    2.90798183738311-1.57079632675     		φ = 1.33718551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87273919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.004272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33718551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.615086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41871 KachelY 10419 0.87273919 1.33718551 50.004272 76.615086
    Oben rechts KachelX + 1 41872 KachelY 10419 0.87283507 1.33718551 50.009766 76.615086
    Unten links KachelX 41871 KachelY + 1 10420 0.87273919 1.33716332 50.004272 76.613815
    Unten rechts KachelX + 1 41872 KachelY + 1 10420 0.87283507 1.33716332 50.009766 76.613815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33718551-1.33716332) × R
    2.2190000000144e-05 × 6371000     		dl = 141.372490000918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33718551-1.33716332) × R
    2.2190000000144e-05 × 6371000     		dr = 141.372490000918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87273919-0.87283507) × cos(1.33718551) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231491760683598 × 6371000     		do = 141.407084621453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87273919-0.87283507) × cos(1.33716332) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231513347876625 × 6371000     		du = 141.420271190262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33718551)-sin(1.33716332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231491760683598-0.231513347876625)×R²
    abs(0.87283507-0.87273919)×2.15871930265843e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.15871930265843e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.15871930265843e-05×40589641000000     		ar = 19992.0037664962m²