Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4187 / 12504
↖ ↑ ↗
← N 39.164141°
W134.000244°		 ← 947.19 m → N 39.164141°
W133.989258°		 →
↑
947.24 m
↓
↑
947.24 m
↓
N 39.155622°
W134.000244°		 ← 947.30 m →
897 267 m²		 N 39.155622°
W133.989258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127792358398438 y=0.381607055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127792358398438 × 215)
    floor (0.127792358398438 × 32768)
    floor (4187.5)     		tx = 4187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381607055664062 × 215)
    floor (0.381607055664062 × 32768)
    floor (12504.5)     		ty = 12504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4187 / 12504 ti = "15/4187/12504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4187/12504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4187 ÷ 215
    4187 ÷ 32768     		x = 0.127777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12504 ÷ 215
    12504 ÷ 32768     		y = 0.381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.74444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33874546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381591796875 × 2 - 1) × π
    0.23681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.743980682103272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33874546} λ = -2.33874546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743980682103272))-π/2
    2×atan(2.1042953954617)-π/2
    2×1.12716976838801-π/2
    2.25433953677602-1.57079632675     		φ = 0.68354321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33874546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68354321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.164141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4187 KachelY 12504 -2.33874546 0.68354321 -134.000244 39.164141
    Oben rechts KachelX + 1 4188 KachelY 12504 -2.33855371 0.68354321 -133.989258 39.164141
    Unten links KachelX 4187 KachelY + 1 12505 -2.33874546 0.68339453 -134.000244 39.155622
    Unten rechts KachelX + 1 4188 KachelY + 1 12505 -2.33855371 0.68339453 -133.989258 39.155622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68354321-0.68339453) × R
    0.000148680000000012 × 6371000     		dl = 947.240280000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68354321-0.68339453) × R
    0.000148680000000012 × 6371000     		dr = 947.240280000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33874546--2.33855371) × cos(0.68354321) × R
    0.000191750000000379 × 0.775339896732112 × 6371000     		do = 947.185649940768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33874546--2.33855371) × cos(0.68339453) × R
    0.000191750000000379 × 0.775433786149921 × 6371000     		du = 947.300348938723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68354321)-sin(0.68339453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775339896732112-0.775433786149921)×R²
    abs(-2.33855371--2.33874546)×9.38894178090788e-05×R²
    0.000191750000000379×9.38894178090788e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.38894178090788e-05×40589641000000     		ar = 897266.725670835m²