Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41867 / 9993
↖ ↑ ↗
← N 77.146169°
E 49.982300°		 ← 135.88 m → N 77.146169°
E 49.987793°		 →
↑
135.89 m
↓
↑
135.89 m
↓
N 77.144947°
E 49.982300°		 ← 135.89 m →
18 466 m²		 N 77.144947°
E 49.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638847351074219 y=0.152488708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638847351074219 × 216)
    floor (0.638847351074219 × 65536)
    floor (41867.5)     		tx = 41867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152488708496094 × 216)
    floor (0.152488708496094 × 65536)
    floor (9993.5)     		ty = 9993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41867 / 9993 ti = "16/41867/9993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41867/9993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41867 ÷ 216
    41867 ÷ 65536     		x = 0.638839721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9993 ÷ 216
    9993 ÷ 65536     		y = 0.152481079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638839721679688 × 2 - 1) × π
    0.277679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87235570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152481079101562 × 2 - 1) × π
    0.695037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18352577769356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87235570} λ = 0.87235570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18352577769356))-π/2
    2×atan(8.87755141737231)-π/2
    2×1.45862548914731-π/2
    2.91725097829461-1.57079632675     		φ = 1.34645465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87235570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.982300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34645465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.146169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41867 KachelY 9993 0.87235570 1.34645465 49.982300 77.146169
    Oben rechts KachelX + 1 41868 KachelY 9993 0.87245157 1.34645465 49.987793 77.146169
    Unten links KachelX 41867 KachelY + 1 9994 0.87235570 1.34643332 49.982300 77.144947
    Unten rechts KachelX + 1 41868 KachelY + 1 9994 0.87245157 1.34643332 49.987793 77.144947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34645465-1.34643332) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dl = 135.893430000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34645465-1.34643332) × R
    2.13300000000416e-05 × 6371000     		dr = 135.893430000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87235570-0.87245157) × cos(1.34645465) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222464584251248 × 6371000     		do = 135.878647318794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87235570-0.87245157) × cos(1.34643332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222485379687304 × 6371000     		du = 135.891348916809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34645465)-sin(1.34643332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222464584251248-0.222485379687304)×R²
    abs(0.87245157-0.87235570)×2.07954360562923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07954360562923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07954360562923e-05×40589641000000     		ar = 18465.8784806671m²