Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41865 / 10357
↖ ↑ ↗
← N 76.693699°
E 49.971313°		 ← 140.59 m → N 76.693699°
E 49.976807°		 →
↑
140.61 m
↓
↑
140.61 m
↓
N 76.692435°
E 49.971313°		 ← 140.60 m →
19 769 m²		 N 76.692435°
E 49.976807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638816833496094 y=0.158042907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638816833496094 × 216)
    floor (0.638816833496094 × 65536)
    floor (41865.5)     		tx = 41865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158042907714844 × 216)
    floor (0.158042907714844 × 65536)
    floor (10357.5)     		ty = 10357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41865 / 10357 ti = "16/41865/10357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41865/10357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41865 ÷ 216
    41865 ÷ 65536     		x = 0.638809204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10357 ÷ 216
    10357 ÷ 65536     		y = 0.158035278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638809204101562 × 2 - 1) × π
    0.277618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87216395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158035278320312 × 2 - 1) × π
    0.683929443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14862771477016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87216395} λ = 0.87216395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14862771477016))-π/2
    2×atan(8.57308560246281)-π/2
    2×1.45467694684224-π/2
    2.90935389368448-1.57079632675     		φ = 1.33855757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87216395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.971313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33855757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.693699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41865 KachelY 10357 0.87216395 1.33855757 49.971313 76.693699
    Oben rechts KachelX + 1 41866 KachelY 10357 0.87225983 1.33855757 49.976807 76.693699
    Unten links KachelX 41865 KachelY + 1 10358 0.87216395 1.33853550 49.971313 76.692435
    Unten rechts KachelX + 1 41866 KachelY + 1 10358 0.87225983 1.33853550 49.976807 76.692435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33855757-1.33853550) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dl = 140.607969999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33855757-1.33853550) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dr = 140.607969999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87216395-0.87225983) × cos(1.33855757) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230156752657015 × 6371000     		do = 140.591592992439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87216395-0.87225983) × cos(1.33853550) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.230178230100232 × 6371000     		du = 140.604712520415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33855757)-sin(1.33853550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230156752657015-0.230178230100232)×R²
    abs(0.87225983-0.87216395)×2.14774432170939e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.14774432170939e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.14774432170939e-05×40589641000000     		ar = 19769.2208457722m²