Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41864 / 9929
↖ ↑ ↗
← N 77.224145°
E 49.965820°		 ← 135.07 m → N 77.224145°
E 49.971313°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
N 77.222931°
E 49.965820°		 ← 135.08 m →
18 244 m²		 N 77.222931°
E 49.971313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638801574707031 y=0.151512145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638801574707031 × 216)
    floor (0.638801574707031 × 65536)
    floor (41864.5)     		tx = 41864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151512145996094 × 216)
    floor (0.151512145996094 × 65536)
    floor (9929.5)     		ty = 9929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41864 / 9929 ti = "16/41864/9929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41864/9929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41864 ÷ 216
    41864 ÷ 65536     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9929 ÷ 216
    9929 ÷ 65536     		y = 0.151504516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151504516601562 × 2 - 1) × π
    0.696990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18966170084492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18966170084492))-π/2
    2×atan(8.9321908508951)-π/2
    2×1.45930596434263-π/2
    2.91861192868527-1.57079632675     		φ = 1.34781560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34781560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.224145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41864 KachelY 9929 0.87206808 1.34781560 49.965820 77.224145
    Oben rechts KachelX + 1 41865 KachelY 9929 0.87216395 1.34781560 49.971313 77.224145
    Unten links KachelX 41864 KachelY + 1 9930 0.87206808 1.34779440 49.965820 77.222931
    Unten rechts KachelX + 1 41865 KachelY + 1 9930 0.87216395 1.34779440 49.971313 77.222931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34781560-1.34779440) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dl = 135.06519999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34781560-1.34779440) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dr = 135.06519999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87216395) × cos(1.34781560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221137532994556 × 6371000     		do = 135.068100641043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87216395) × cos(1.34779440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221158208088661 × 6371000     		du = 135.080728735666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34781560)-sin(1.34779440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221137532994556-0.221158208088661)×R²
    abs(0.87216395-0.87206808)×2.06750941052769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06750941052769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06750941052769e-05×40589641000000     		ar = 18243.852835079m²