Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41864 / 10457
↖ ↑ ↗
← N 76.566679°
E 49.965820°		 ← 141.89 m → N 76.566679°
E 49.971313°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
N 76.565403°
E 49.965820°		 ← 141.91 m →
20 133 m²		 N 76.565403°
E 49.971313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638801574707031 y=0.159568786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638801574707031 × 216)
    floor (0.638801574707031 × 65536)
    floor (41864.5)     		tx = 41864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159568786621094 × 216)
    floor (0.159568786621094 × 65536)
    floor (10457.5)     		ty = 10457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41864 / 10457 ti = "16/41864/10457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41864/10457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41864 ÷ 216
    41864 ÷ 65536     		x = 0.6387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10457 ÷ 216
    10457 ÷ 65536     		y = 0.159561157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6387939453125 × 2 - 1) × π
    0.277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87206808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159561157226562 × 2 - 1) × π
    0.680877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13904033484615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87206808} λ = 0.87206808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13904033484615))-π/2
    2×atan(8.49128492732381)-π/2
    2×1.45356848468323-π/2
    2.90713696936646-1.57079632675     		φ = 1.33634064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87206808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33634064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.566679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41864 KachelY 10457 0.87206808 1.33634064 49.965820 76.566679
    Oben rechts KachelX + 1 41865 KachelY 10457 0.87216395 1.33634064 49.971313 76.566679
    Unten links KachelX 41864 KachelY + 1 10458 0.87206808 1.33631837 49.965820 76.565403
    Unten rechts KachelX + 1 41865 KachelY + 1 10458 0.87216395 1.33631837 49.971313 76.565403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33634064-1.33631837) × R
    2.22699999998799e-05 × 6371000     		dl = 141.882169999235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33634064-1.33631837) × R
    2.22699999998799e-05 × 6371000     		dr = 141.882169999235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87206808-0.87216395) × cos(1.33634064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232313598647422 × 6371000     		do = 141.894304858531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87206808-0.87216395) × cos(1.33631837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232335259303474 × 6371000     		du = 141.907534922337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33634064)-sin(1.33631837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232313598647422-0.232335259303474)×R²
    abs(0.87216395-0.87206808)×2.16606560516641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16606560516641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16606560516641e-05×40589641000000     		ar = 20133.2104399499m²