Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41858 / 10364
↖ ↑ ↗
← N 76.684846°
E 49.932862°		 ← 140.67 m → N 76.684846°
E 49.938355°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
N 76.683581°
E 49.932862°		 ← 140.68 m →
19 789 m²		 N 76.683581°
E 49.938355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638710021972656 y=0.158149719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638710021972656 × 216)
    floor (0.638710021972656 × 65536)
    floor (41858.5)     		tx = 41858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158149719238281 × 216)
    floor (0.158149719238281 × 65536)
    floor (10364.5)     		ty = 10364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41858 / 10364 ti = "16/41858/10364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41858/10364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41858 ÷ 216
    41858 ÷ 65536     		x = 0.638702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10364 ÷ 216
    10364 ÷ 65536     		y = 0.15814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638702392578125 × 2 - 1) × π
    0.27740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87149284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15814208984375 × 2 - 1) × π
    0.6837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14795659817548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87149284} λ = 0.87149284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14795659817548))-π/2
    2×atan(8.56733399266365)-π/2
    2×1.45459969060823-π/2
    2.90919938121646-1.57079632675     		φ = 1.33840305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87149284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.932862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33840305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.684846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41858 KachelY 10364 0.87149284 1.33840305 49.932862 76.684846
    Oben rechts KachelX + 1 41859 KachelY 10364 0.87158871 1.33840305 49.938355 76.684846
    Unten links KachelX 41858 KachelY + 1 10365 0.87149284 1.33838097 49.932862 76.683581
    Unten rechts KachelX + 1 41859 KachelY + 1 10365 0.87158871 1.33838097 49.938355 76.683581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33840305-1.33838097) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dl = 140.671679999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33840305-1.33838097) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dr = 140.671679999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87149284-0.87158871) × cos(1.33840305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230307121598265 × 6371000     		do = 140.66877321612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87149284-0.87158871) × cos(1.33838097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230328607987425 × 6371000     		du = 140.68189683984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33840305)-sin(1.33838097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230307121598265-0.230328607987425)×R²
    abs(0.87158871-0.87149284)×2.14863891595529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14863891595529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14863891595529e-05×40589641000000     		ar = 19789.0357135737m²