Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41857 / 10362
↖ ↑ ↗
← N 76.687376°
E 49.927368°		 ← 140.66 m → N 76.687376°
E 49.932862°		 →
↑
140.67 m
↓
↑
140.67 m
↓
N 76.686111°
E 49.927368°		 ← 140.67 m →
19 787 m²		 N 76.686111°
E 49.932862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638694763183594 y=0.158119201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638694763183594 × 216)
    floor (0.638694763183594 × 65536)
    floor (41857.5)     		tx = 41857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158119201660156 × 216)
    floor (0.158119201660156 × 65536)
    floor (10362.5)     		ty = 10362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41857 / 10362 ti = "16/41857/10362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41857/10362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41857 ÷ 216
    41857 ÷ 65536     		x = 0.638687133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10362 ÷ 216
    10362 ÷ 65536     		y = 0.158111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638687133789062 × 2 - 1) × π
    0.277374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87139696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158111572265625 × 2 - 1) × π
    0.68377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14814834577396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87139696} λ = 0.87139696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14814834577396))-π/2
    2×atan(8.56897691589038)-π/2
    2×1.45462176896665-π/2
    2.90924353793331-1.57079632675     		φ = 1.33844721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87139696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.927368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33844721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.687376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41857 KachelY 10362 0.87139696 1.33844721 49.927368 76.687376
    Oben rechts KachelX + 1 41858 KachelY 10362 0.87149284 1.33844721 49.932862 76.687376
    Unten links KachelX 41857 KachelY + 1 10363 0.87139696 1.33842513 49.927368 76.686111
    Unten rechts KachelX + 1 41858 KachelY + 1 10363 0.87149284 1.33842513 49.932862 76.686111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33844721-1.33842513) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dl = 140.671679999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33844721-1.33842513) × R
    2.20799999999244e-05 × 6371000     		dr = 140.671679999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87139696-0.87149284) × cos(1.33844721) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.230264148483114 × 6371000     		do = 140.657195891921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87139696-0.87149284) × cos(1.33842513) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.230285635096825 × 6371000     		du = 140.670321021706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33844721)-sin(1.33842513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230264148483114-0.230285635096825)×R²
    abs(0.87149284-0.87139696)×2.14866137107084e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.14866137107084e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.14866137107084e-05×40589641000000     		ar = 19787.4072179025m²