Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41856 / 10450
↖ ↑ ↗
← N 76.575609°
E 49.921875°		 ← 141.80 m → N 76.575609°
E 49.927368°		 →
↑
141.82 m
↓
↑
141.82 m
↓
N 76.574333°
E 49.921875°		 ← 141.81 m →
20 111 m²		 N 76.574333°
E 49.927368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638679504394531 y=0.159461975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638679504394531 × 216)
    floor (0.638679504394531 × 65536)
    floor (41856.5)     		tx = 41856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159461975097656 × 216)
    floor (0.159461975097656 × 65536)
    floor (10450.5)     		ty = 10450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41856 / 10450 ti = "16/41856/10450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41856/10450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41856 ÷ 216
    41856 ÷ 65536     		x = 0.638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10450 ÷ 216
    10450 ÷ 65536     		y = 0.159454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638671875 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159454345703125 × 2 - 1) × π
    0.68109130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13971145144083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87130109} λ = 0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13971145144083))-π/2
    2×atan(8.49698548220323)-π/2
    2×1.45364641400052-π/2
    2.90729282800105-1.57079632675     		φ = 1.33649650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33649650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.575609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41856 KachelY 10450 0.87130109 1.33649650 49.921875 76.575609
    Oben rechts KachelX + 1 41857 KachelY 10450 0.87139696 1.33649650 49.927368 76.575609
    Unten links KachelX 41856 KachelY + 1 10451 0.87130109 1.33647424 49.921875 76.574333
    Unten rechts KachelX + 1 41857 KachelY + 1 10451 0.87139696 1.33647424 49.927368 76.574333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33649650-1.33647424) × R
    2.22599999999407e-05 × 6371000     		dl = 141.818459999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33649650-1.33647424) × R
    2.22599999999407e-05 × 6371000     		dr = 141.818459999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87130109-0.87139696) × cos(1.33649650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23216200000991 × 6371000     		do = 141.80171026479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87130109-0.87139696) × cos(1.33647424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232183651745378 × 6371000     		du = 141.814934880013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33649650)-sin(1.33647424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23216200000991-0.232183651745378)×R²
    abs(0.87139696-0.87130109)×2.16517354676149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16517354676149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16517354676149e-05×40589641000000     		ar = 20111.0379233287m²