Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41855 / 10366
↖ ↑ ↗
← N 76.682316°
E 49.916382°		 ← 140.71 m → N 76.682316°
E 49.921875°		 →
↑
140.74 m
↓
↑
140.74 m
↓
N 76.681050°
E 49.916382°		 ← 140.72 m →
19 804 m²		 N 76.681050°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638664245605469 y=0.158180236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638664245605469 × 216)
    floor (0.638664245605469 × 65536)
    floor (41855.5)     		tx = 41855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158180236816406 × 216)
    floor (0.158180236816406 × 65536)
    floor (10366.5)     		ty = 10366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41855 / 10366 ti = "16/41855/10366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41855/10366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41855 ÷ 216
    41855 ÷ 65536     		x = 0.638656616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10366 ÷ 216
    10366 ÷ 65536     		y = 0.158172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638656616210938 × 2 - 1) × π
    0.277313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87120521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158172607421875 × 2 - 1) × π
    0.68365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.147764850577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87120521} λ = 0.87120521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.147764850577))-π/2
    2×atan(8.5656913844333)-π/2
    2×1.45457760812976-π/2
    2.90915521625952-1.57079632675     		φ = 1.33835889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87120521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.916382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33835889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.682316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41855 KachelY 10366 0.87120521 1.33835889 49.916382 76.682316
    Oben rechts KachelX + 1 41856 KachelY 10366 0.87130109 1.33835889 49.921875 76.682316
    Unten links KachelX 41855 KachelY + 1 10367 0.87120521 1.33833680 49.916382 76.681050
    Unten rechts KachelX + 1 41856 KachelY + 1 10367 0.87130109 1.33833680 49.921875 76.681050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33835889-1.33833680) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dl = 140.735390000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33835889-1.33833680) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dr = 140.735390000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87120521-0.87130109) × cos(1.33835889) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.230350094264293 × 6371000     		do = 140.709695999554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87120521-0.87130109) × cos(1.33833680) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.230371590159887 × 6371000     		du = 140.722826799191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33835889)-sin(1.33833680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230350094264293-0.230371590159887)×R²
    abs(0.87130109-0.87120521)×2.14958955940536e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.14958955940536e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.14958955940536e-05×40589641000000     		ar = 19803.7579282295m²