Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41854 / 10370
↖ ↑ ↗
← N 76.677253°
E 49.910889°		 ← 140.75 m → N 76.677253°
E 49.916382°		 →
↑
140.74 m
↓
↑
140.74 m
↓
N 76.675988°
E 49.910889°		 ← 140.76 m →
19 809 m²		 N 76.675988°
E 49.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638648986816406 y=0.158241271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638648986816406 × 216)
    floor (0.638648986816406 × 65536)
    floor (41854.5)     		tx = 41854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158241271972656 × 216)
    floor (0.158241271972656 × 65536)
    floor (10370.5)     		ty = 10370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41854 / 10370 ti = "16/41854/10370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41854/10370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41854 ÷ 216
    41854 ÷ 65536     		x = 0.638641357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10370 ÷ 216
    10370 ÷ 65536     		y = 0.158233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    0.27728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87110934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158233642578125 × 2 - 1) × π
    0.68353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14738135538004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87110934} λ = 0.87110934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14738135538004))-π/2
    2×atan(8.56240711272019)-π/2
    2×1.45453343080975-π/2
    2.9090668616195-1.57079632675     		φ = 1.33827053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87110934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.910889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33827053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.677253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41854 KachelY 10370 0.87110934 1.33827053 49.910889 76.677253
    Oben rechts KachelX + 1 41855 KachelY 10370 0.87120521 1.33827053 49.916382 76.677253
    Unten links KachelX 41854 KachelY + 1 10371 0.87110934 1.33824844 49.910889 76.675988
    Unten rechts KachelX + 1 41855 KachelY + 1 10371 0.87120521 1.33824844 49.916382 76.675988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33827053-1.33824844) × R
    2.20899999998636e-05 × 6371000     		dl = 140.735389999131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33827053-1.33824844) × R
    2.20899999998636e-05 × 6371000     		dr = 140.735389999131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87110934-0.87120521) × cos(1.33827053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230436077172143 × 6371000     		do = 140.747537703518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87110934-0.87120521) × cos(1.33824844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230457572618018 × 6371000     		du = 140.760666858969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33827053)-sin(1.33824844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230436077172143-0.230457572618018)×R²
    abs(0.87120521-0.87110934)×2.14954458749306e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14954458749306e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14954458749306e-05×40589641000000     		ar = 19809.0834794269m²