Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41850 / 10434
↖ ↑ ↗
← N 76.595999°
E 49.888916°		 ← 141.61 m → N 76.595999°
E 49.894409°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
N 76.594725°
E 49.888916°		 ← 141.62 m →
20 056 m²		 N 76.594725°
E 49.894409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638587951660156 y=0.159217834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638587951660156 × 216)
    floor (0.638587951660156 × 65536)
    floor (41850.5)     		tx = 41850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159217834472656 × 216)
    floor (0.159217834472656 × 65536)
    floor (10434.5)     		ty = 10434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41850 / 10434 ti = "16/41850/10434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41850/10434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41850 ÷ 216
    41850 ÷ 65536     		x = 0.638580322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10434 ÷ 216
    10434 ÷ 65536     		y = 0.159210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638580322265625 × 2 - 1) × π
    0.27716064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87072584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159210205078125 × 2 - 1) × π
    0.68157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14124543222867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87072584} λ = 0.87072584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14124543222867))-π/2
    2×atan(8.51002969691702)-π/2
    2×1.45382434724244-π/2
    2.90764869448488-1.57079632675     		φ = 1.33685237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87072584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.888916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33685237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.595999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41850 KachelY 10434 0.87072584 1.33685237 49.888916 76.595999
    Oben rechts KachelX + 1 41851 KachelY 10434 0.87082172 1.33685237 49.894409 76.595999
    Unten links KachelX 41850 KachelY + 1 10435 0.87072584 1.33683014 49.888916 76.594725
    Unten rechts KachelX + 1 41851 KachelY + 1 10435 0.87082172 1.33683014 49.894409 76.594725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33685237-1.33683014) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dl = 141.627329999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33685237-1.33683014) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dr = 141.627329999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87072584-0.87082172) × cos(1.33685237) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231815838704871 × 6371000     		do = 141.605048160383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87072584-0.87082172) × cos(1.33683014) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.231837463095527 × 6371000     		du = 141.618257451419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33685237)-sin(1.33683014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231815838704871-0.231837463095527)×R²
    abs(0.87082172-0.87072584)×2.16243906561164e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.16243906561164e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.16243906561164e-05×40589641000000     		ar = 20056.0802845031m²