Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4185 / 4182
↖ ↑ ↗
← S  3.776559°
E  3.911133°		 ← 4 875.88 m → S  3.776559°
E  3.955078°		 →
↑
4 875.79 m
↓
↑
4 875.79 m
↓
S  3.820408°
E  3.911133°		 ← 4 875.63 m →
23 773 175 m²		 S  3.820408°
E  3.955078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51092529296875 y=0.51055908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51092529296875 × 213)
    floor (0.51092529296875 × 8192)
    floor (4185.5)     		tx = 4185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51055908203125 × 213)
    floor (0.51055908203125 × 8192)
    floor (4182.5)     		ty = 4182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4185 / 4182 ti = "13/4185/4182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4185/4182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4185 ÷ 213
    4185 ÷ 8192     		x = 0.5108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4182 ÷ 213
    4182 ÷ 8192     		y = 0.510498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5108642578125 × 2 - 1) × π
    0.021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06826215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.02099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0659611738771973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06826215} λ = 0.06826215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0659611738771973))-π/2
    2×atan(0.936167211329118)-π/2
    2×0.752441466221291-π/2
    1.50488293244258-1.57079632675     		φ = -0.06591339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06826215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06591339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.776559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4185 KachelY 4182 0.06826215 -0.06591339 3.911133 -3.776559
    Oben rechts KachelX + 1 4186 KachelY 4182 0.06902914 -0.06591339 3.955078 -3.776559
    Unten links KachelX 4185 KachelY + 1 4183 0.06826215 -0.06667870 3.911133 -3.820408
    Unten rechts KachelX + 1 4186 KachelY + 1 4183 0.06902914 -0.06667870 3.955078 -3.820408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06591339--0.06667870) × R
    0.000765309999999991 × 6371000     		dl = 4875.79000999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06591339--0.06667870) × R
    0.000765309999999991 × 6371000     		dr = 4875.79000999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06826215-0.06902914) × cos(-0.06591339) × R
    0.000766990000000009 × 0.997828498867624 × 6371000     		do = 4875.88226428747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06826215-0.06902914) × cos(-0.06667870) × R
    0.000766990000000009 × 0.997777799000767 × 6371000     		du = 4875.63451972827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06591339)-sin(-0.06667870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997828498867624-0.997777799000767)×R²
    abs(0.06902914-0.06826215)×5.06998668565739e-05×R²
    0.000766990000000009×5.06998668565739e-05×6371000²
    0.000766990000000009×5.06998668565739e-05×40589641000000     		ar = 23773175.2192531m²