Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4185 / 12685
↖ ↑ ↗
← S 69.756156°
W 88.044433°		 ← 845.39 m → S 69.756156°
W 88.022461°		 →
↑
845.24 m
↓
↑
845.24 m
↓
S 69.763757°
W 88.044433°		 ← 845.09 m →
714 431 m²		 S 69.763757°
W 88.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255462646484375 y=0.774261474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255462646484375 × 214)
    floor (0.255462646484375 × 16384)
    floor (4185.5)     		tx = 4185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774261474609375 × 214)
    floor (0.774261474609375 × 16384)
    floor (12685.5)     		ty = 12685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4185 / 12685 ti = "14/4185/12685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4185/12685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4185 ÷ 214
    4185 ÷ 16384     		x = 0.25543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12685 ÷ 214
    12685 ÷ 16384     		y = 0.77423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.4891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53666525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.5484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7230439199433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53666525} λ = -1.53666525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7230439199433))-π/2
    2×atan(0.178521913615724)-π/2
    2×0.176660870831618-π/2
    0.353321741663235-1.57079632675     		φ = -1.21747459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53666525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.044433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21747459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.756156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4185 KachelY 12685 -1.53666525 -1.21747459 -88.044433 -69.756156
    Oben rechts KachelX + 1 4186 KachelY 12685 -1.53628176 -1.21747459 -88.022461 -69.756156
    Unten links KachelX 4185 KachelY + 1 12686 -1.53666525 -1.21760726 -88.044433 -69.763757
    Unten rechts KachelX + 1 4186 KachelY + 1 12686 -1.53628176 -1.21760726 -88.022461 -69.763757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21747459--1.21760726) × R
    0.000132670000000168 × 6371000     		dl = 845.24057000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21747459--1.21760726) × R
    0.000132670000000168 × 6371000     		dr = 845.24057000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53666525--1.53628176) × cos(-1.21747459) × R
    0.000383489999999931 × 0.346016258867176 × 6371000     		do = 845.392041244601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53666525--1.53628176) × cos(-1.21760726) × R
    0.000383489999999931 × 0.345891781045125 × 6371000     		du = 845.087915188738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21747459)-sin(-1.21760726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346016258867176-0.345891781045125)×R²
    abs(-1.53628176--1.53666525)×0.000124477822051439×R²
    0.000383489999999931×0.000124477822051439×6371000²
    0.000383489999999931×0.000124477822051439×40589641000000     		ar = 714431.122023089m²