Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41849 / 9981
↖ ↑ ↗
← N 77.160825°
E 49.883423°		 ← 135.73 m → N 77.160825°
E 49.888916°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
N 77.159604°
E 49.883423°		 ← 135.74 m →
18 428 m²		 N 77.159604°
E 49.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638572692871094 y=0.152305603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638572692871094 × 216)
    floor (0.638572692871094 × 65536)
    floor (41849.5)     		tx = 41849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152305603027344 × 216)
    floor (0.152305603027344 × 65536)
    floor (9981.5)     		ty = 9981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41849 / 9981 ti = "16/41849/9981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41849/9981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41849 ÷ 216
    41849 ÷ 65536     		x = 0.638565063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9981 ÷ 216
    9981 ÷ 65536     		y = 0.152297973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638565063476562 × 2 - 1) × π
    0.277130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87062997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152297973632812 × 2 - 1) × π
    0.695404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18467626328444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87062997} λ = 0.87062997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18467626328444))-π/2
    2×atan(8.88777078985349)-π/2
    2×1.45875338855147-π/2
    2.91750677710294-1.57079632675     		φ = 1.34671045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87062997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34671045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.160825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41849 KachelY 9981 0.87062997 1.34671045 49.883423 77.160825
    Oben rechts KachelX + 1 41850 KachelY 9981 0.87072584 1.34671045 49.888916 77.160825
    Unten links KachelX 41849 KachelY + 1 9982 0.87062997 1.34668914 49.883423 77.159604
    Unten rechts KachelX + 1 41850 KachelY + 1 9982 0.87072584 1.34668914 49.888916 77.159604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34671045-1.34668914) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34671045-1.34668914) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87062997-0.87072584) × cos(1.34671045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222215187126177 × 6371000     		do = 135.726318604927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87062997-0.87072584) × cos(1.34668914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222235964275565 × 6371000     		du = 135.739009033669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34671045)-sin(1.34668914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222215187126177-0.222235964275565)×R²
    abs(0.87072584-0.87062997)×2.0777149388751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0777149388751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0777149388751e-05×40589641000000     		ar = 18427.8821938788m²