Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41849 / 10359
↖ ↑ ↗
← N 76.691170°
E 49.883423°		 ← 140.60 m → N 76.691170°
E 49.888916°		 →
↑
140.61 m
↓
↑
140.61 m
↓
N 76.689906°
E 49.883423°		 ← 140.62 m →
19 771 m²		 N 76.689906°
E 49.888916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638572692871094 y=0.158073425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638572692871094 × 216)
    floor (0.638572692871094 × 65536)
    floor (41849.5)     		tx = 41849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158073425292969 × 216)
    floor (0.158073425292969 × 65536)
    floor (10359.5)     		ty = 10359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41849 / 10359 ti = "16/41849/10359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41849/10359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41849 ÷ 216
    41849 ÷ 65536     		x = 0.638565063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10359 ÷ 216
    10359 ÷ 65536     		y = 0.158065795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638565063476562 × 2 - 1) × π
    0.277130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.87062997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158065795898438 × 2 - 1) × π
    0.683868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14843596717168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87062997} λ = 0.87062997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14843596717168))-π/2
    2×atan(8.57144189148083)-π/2
    2×1.45465487878078-π/2
    2.90930975756155-1.57079632675     		φ = 1.33851343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87062997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.883423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33851343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.691170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41849 KachelY 10359 0.87062997 1.33851343 49.883423 76.691170
    Oben rechts KachelX + 1 41850 KachelY 10359 0.87072584 1.33851343 49.888916 76.691170
    Unten links KachelX 41849 KachelY + 1 10360 0.87062997 1.33849136 49.883423 76.689906
    Unten rechts KachelX + 1 41850 KachelY + 1 10360 0.87072584 1.33849136 49.888916 76.689906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33851343-1.33849136) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dl = 140.607969999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33851343-1.33849136) × R
    2.20699999999852e-05 × 6371000     		dr = 140.607969999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87062997-0.87072584) × cos(1.33851343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230199707431333 × 6371000     		do = 140.603165956633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87062997-0.87072584) × cos(1.33849136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230221184650307 × 6371000     		du = 140.616283979316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33851343)-sin(1.33849136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230199707431333-0.230221184650307)×R²
    abs(0.87072584-0.87062997)×2.14772189739698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14772189739698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14772189739698e-05×40589641000000     		ar = 19770.8479907245m²