Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41847 / 9895
↖ ↑ ↗
← N 77.265381°
E 49.872436°		 ← 134.65 m → N 77.265381°
E 49.877930°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
N 77.264171°
E 49.872436°		 ← 134.67 m →
18 128 m²		 N 77.264171°
E 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638542175292969 y=0.150993347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638542175292969 × 216)
    floor (0.638542175292969 × 65536)
    floor (41847.5)     		tx = 41847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150993347167969 × 216)
    floor (0.150993347167969 × 65536)
    floor (9895.5)     		ty = 9895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41847 / 9895 ti = "16/41847/9895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41847/9895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41847 ÷ 216
    41847 ÷ 65536     		x = 0.638534545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9895 ÷ 216
    9895 ÷ 65536     		y = 0.150985717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638534545898438 × 2 - 1) × π
    0.277069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87043822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150985717773438 × 2 - 1) × π
    0.698028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19292141001909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87043822} λ = 0.87043822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19292141001909))-π/2
    2×atan(8.96135470237038)-π/2
    2×1.45966581404553-π/2
    2.91933162809107-1.57079632675     		φ = 1.34853530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87043822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.872436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34853530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.265381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41847 KachelY 9895 0.87043822 1.34853530 49.872436 77.265381
    Oben rechts KachelX + 1 41848 KachelY 9895 0.87053410 1.34853530 49.877930 77.265381
    Unten links KachelX 41847 KachelY + 1 9896 0.87043822 1.34851417 49.872436 77.264171
    Unten rechts KachelX + 1 41848 KachelY + 1 9896 0.87053410 1.34851417 49.877930 77.264171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34853530-1.34851417) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34853530-1.34851417) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87043822-0.87053410) × cos(1.34853530) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220435593661722 × 6371000     		do = 134.653408632853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87043822-0.87053410) × cos(1.34851417) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220456203846886 × 6371000     		du = 134.665998394964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34853530)-sin(1.34851417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220435593661722-0.220456203846886)×R²
    abs(0.87053410-0.87043822)×2.06101851644158e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.06101851644158e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.06101851644158e-05×40589641000000     		ar = 18127.7855999667m²