Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41847 / 10508
↖ ↑ ↗
← N 76.501441°
E 49.872436°		 ← 142.59 m → N 76.501441°
E 49.877930°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
N 76.500159°
E 49.872436°		 ← 142.60 m →
20 331 m²		 N 76.500159°
E 49.877930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638542175292969 y=0.160346984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638542175292969 × 216)
    floor (0.638542175292969 × 65536)
    floor (41847.5)     		tx = 41847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160346984863281 × 216)
    floor (0.160346984863281 × 65536)
    floor (10508.5)     		ty = 10508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41847 / 10508 ti = "16/41847/10508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41847/10508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41847 ÷ 216
    41847 ÷ 65536     		x = 0.638534545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10508 ÷ 216
    10508 ÷ 65536     		y = 0.16033935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638534545898438 × 2 - 1) × π
    0.277069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87043822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16033935546875 × 2 - 1) × π
    0.6793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1341507710849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87043822} λ = 0.87043822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1341507710849))-π/2
    2×atan(8.44986758713613)-π/2
    2×1.45299917605224-π/2
    2.90599835210448-1.57079632675     		φ = 1.33520203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87043822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.872436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33520203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.501441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41847 KachelY 10508 0.87043822 1.33520203 49.872436 76.501441
    Oben rechts KachelX + 1 41848 KachelY 10508 0.87053410 1.33520203 49.877930 76.501441
    Unten links KachelX 41847 KachelY + 1 10509 0.87043822 1.33517965 49.872436 76.500159
    Unten rechts KachelX + 1 41848 KachelY + 1 10509 0.87053410 1.33517965 49.877930 76.500159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33520203-1.33517965) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dl = 142.582980000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33520203-1.33517965) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dr = 142.582980000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87043822-0.87053410) × cos(1.33520203) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233420906515688 × 6371000     		do = 142.585506207956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87043822-0.87053410) × cos(1.33517965) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23344266822745 × 6371000     		du = 142.598799381793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33520203)-sin(1.33517965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233420906515688-0.23344266822745)×R²
    abs(0.87053410-0.87043822)×2.17617117617697e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.17617117617697e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.17617117617697e-05×40589641000000     		ar = 20331.2140711945m²