Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41845 / 10443
↖ ↑ ↗
← N 76.584533°
E 49.861450°		 ← 141.71 m → N 76.584533°
E 49.866943°		 →
↑
141.75 m
↓
↑
141.75 m
↓
N 76.583258°
E 49.861450°		 ← 141.72 m →
20 089 m²		 N 76.583258°
E 49.866943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638511657714844 y=0.159355163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638511657714844 × 216)
    floor (0.638511657714844 × 65536)
    floor (41845.5)     		tx = 41845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159355163574219 × 216)
    floor (0.159355163574219 × 65536)
    floor (10443.5)     		ty = 10443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41845 / 10443 ti = "16/41845/10443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41845/10443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41845 ÷ 216
    41845 ÷ 65536     		x = 0.638504028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10443 ÷ 216
    10443 ÷ 65536     		y = 0.159347534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638504028320312 × 2 - 1) × π
    0.277008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87024648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159347534179688 × 2 - 1) × π
    0.681304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14038256803551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87024648} λ = 0.87024648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14038256803551))-π/2
    2×atan(8.50268986410368)-π/2
    2×1.45372429246374-π/2
    2.90744858492747-1.57079632675     		φ = 1.33665226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87024648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.861450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33665226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.584533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41845 KachelY 10443 0.87024648 1.33665226 49.861450 76.584533
    Oben rechts KachelX + 1 41846 KachelY 10443 0.87034235 1.33665226 49.866943 76.584533
    Unten links KachelX 41845 KachelY + 1 10444 0.87024648 1.33663001 49.861450 76.583258
    Unten rechts KachelX + 1 41846 KachelY + 1 10444 0.87034235 1.33663001 49.866943 76.583258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33665226-1.33663001) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dl = 141.754750000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33665226-1.33663001) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dr = 141.754750000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87024648-0.87034235) × cos(1.33665226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23201049300397 × 6371000     		do = 141.709171638492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87024648-0.87034235) × cos(1.33663001) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232032135817087 × 6371000     		du = 141.722390804053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33665226)-sin(1.33663001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23201049300397-0.232032135817087)×R²
    abs(0.87034235-0.87024648)×2.16428131175339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16428131175339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16428131175339e-05×40589641000000     		ar = 20088.885138985m²