Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41843 / 10482
↖ ↑ ↗
← N 76.534738°
E 49.850464°		 ← 142.23 m → N 76.534738°
E 49.855957°		 →
↑
142.20 m
↓
↑
142.20 m
↓
N 76.533459°
E 49.850464°		 ← 142.24 m →
20 226 m²		 N 76.533459°
E 49.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638481140136719 y=0.159950256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638481140136719 × 216)
    floor (0.638481140136719 × 65536)
    floor (41843.5)     		tx = 41843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159950256347656 × 216)
    floor (0.159950256347656 × 65536)
    floor (10482.5)     		ty = 10482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41843 / 10482 ti = "16/41843/10482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41843/10482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41843 ÷ 216
    41843 ÷ 65536     		x = 0.638473510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10482 ÷ 216
    10482 ÷ 65536     		y = 0.159942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638473510742188 × 2 - 1) × π
    0.276947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87005473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159942626953125 × 2 - 1) × π
    0.68011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13664348986514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87005473} λ = 0.87005473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13664348986514))-π/2
    2×atan(8.47095700483475)-π/2
    2×1.45328975008266-π/2
    2.90657950016533-1.57079632675     		φ = 1.33578317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87005473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.850464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33578317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.534738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41843 KachelY 10482 0.87005473 1.33578317 49.850464 76.534738
    Oben rechts KachelX + 1 41844 KachelY 10482 0.87015060 1.33578317 49.855957 76.534738
    Unten links KachelX 41843 KachelY + 1 10483 0.87005473 1.33576085 49.850464 76.533459
    Unten rechts KachelX + 1 41844 KachelY + 1 10483 0.87015060 1.33576085 49.855957 76.533459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33578317-1.33576085) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dl = 142.200720000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33578317-1.33576085) × R
    2.23200000000201e-05 × 6371000     		dr = 142.200720000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87005473-0.87015060) × cos(1.33578317) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232855780663987 × 6371000     		do = 142.225463003362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87005473-0.87015060) × cos(1.33576085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.232877487057703 × 6371000     		du = 142.238721003175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33578317)-sin(1.33576085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232855780663987-0.232877487057703)×R²
    abs(0.87015060-0.87005473)×2.17063937159589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17063937159589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17063937159589e-05×40589641000000     		ar = 20225.5058908573m²