Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41841 / 10501
↖ ↑ ↗
← N 76.510414°
E 49.839478°		 ← 142.48 m → N 76.510414°
E 49.844970°		 →
↑
142.52 m
↓
↑
142.52 m
↓
N 76.509132°
E 49.839478°		 ← 142.49 m →
20 307 m²		 N 76.509132°
E 49.844970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638450622558594 y=0.160240173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638450622558594 × 216)
    floor (0.638450622558594 × 65536)
    floor (41841.5)     		tx = 41841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160240173339844 × 216)
    floor (0.160240173339844 × 65536)
    floor (10501.5)     		ty = 10501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41841 / 10501 ti = "16/41841/10501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41841/10501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41841 ÷ 216
    41841 ÷ 65536     		x = 0.638442993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10501 ÷ 216
    10501 ÷ 65536     		y = 0.160232543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638442993164062 × 2 - 1) × π
    0.276885986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86986298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160232543945312 × 2 - 1) × π
    0.679534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13482188767958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86986298} λ = 0.86986298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13482188767958))-π/2
    2×atan(8.45554033682203)-π/2
    2×1.45307747682396-π/2
    2.90615495364792-1.57079632675     		φ = 1.33535863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86986298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.839478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33535863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.510414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41841 KachelY 10501 0.86986298 1.33535863 49.839478 76.510414
    Oben rechts KachelX + 1 41842 KachelY 10501 0.86995885 1.33535863 49.844970 76.510414
    Unten links KachelX 41841 KachelY + 1 10502 0.86986298 1.33533626 49.839478 76.509132
    Unten rechts KachelX + 1 41842 KachelY + 1 10502 0.86995885 1.33533626 49.844970 76.509132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33535863-1.33533626) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dl = 142.519269999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33535863-1.33533626) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dr = 142.519269999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86986298-0.86995885) × cos(1.33535863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233268629605165 × 6371000     		do = 142.477626087492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86986298-0.86995885) × cos(1.33533626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233290382410699 × 6371000     		du = 142.490912435075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33535863)-sin(1.33533626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233268629605165-0.233290382410699)×R²
    abs(0.86995885-0.86986298)×2.17528055338756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17528055338756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17528055338756e-05×40589641000000     		ar = 20306.7540425406m²