Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41840 / 10494
↖ ↑ ↗
← N 76.519380°
E 49.833985°		 ← 142.38 m → N 76.519380°
E 49.839478°		 →
↑
142.39 m
↓
↑
142.39 m
↓
N 76.518100°
E 49.833985°		 ← 142.40 m →
20 275 m²		 N 76.518100°
E 49.839478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638435363769531 y=0.160133361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638435363769531 × 216)
    floor (0.638435363769531 × 65536)
    floor (41840.5)     		tx = 41840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160133361816406 × 216)
    floor (0.160133361816406 × 65536)
    floor (10494.5)     		ty = 10494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41840 / 10494 ti = "16/41840/10494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41840/10494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41840 ÷ 216
    41840 ÷ 65536     		x = 0.638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10494 ÷ 216
    10494 ÷ 65536     		y = 0.160125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    0.27685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86976711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160125732421875 × 2 - 1) × π
    0.67974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13549300427426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86976711} λ = 0.86976711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13549300427426))-π/2
    2×atan(8.46121689486215)-π/2
    2×1.45315572651311-π/2
    2.90631145302622-1.57079632675     		φ = 1.33551513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86976711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.833985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33551513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.519380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41840 KachelY 10494 0.86976711 1.33551513 49.833985 76.519380
    Oben rechts KachelX + 1 41841 KachelY 10494 0.86986298 1.33551513 49.839478 76.519380
    Unten links KachelX 41840 KachelY + 1 10495 0.86976711 1.33549278 49.833985 76.518100
    Unten rechts KachelX + 1 41841 KachelY + 1 10495 0.86986298 1.33549278 49.839478 76.518100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33551513-1.33549278) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dl = 142.391850000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33551513-1.33549278) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dr = 142.391850000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86976711-0.86986298) × cos(1.33551513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233116444218948 × 6371000     		do = 142.384673114818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86976711-0.86986298) × cos(1.33549278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233138178392033 × 6371000     		du = 142.397948081929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33551513)-sin(1.33549278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233116444218948-0.233138178392033)×R²
    abs(0.86986298-0.86976711)×2.1734173084681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1734173084681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1734173084681e-05×40589641000000     		ar = 20275.3621409167m²