Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4184 / 4183
↖ ↑ ↗
← S  3.820408°
E  3.867187°		 ← 4 875.70 m → S  3.820408°
E  3.911133°		 →
↑
4 875.54 m
↓
↑
4 875.54 m
↓
S  3.864255°
E  3.867187°		 ← 4 875.45 m →
23 771 028 m²		 S  3.864255°
E  3.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51080322265625 y=0.51068115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51080322265625 × 213)
    floor (0.51080322265625 × 8192)
    floor (4184.5)     		tx = 4184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51068115234375 × 213)
    floor (0.51068115234375 × 8192)
    floor (4183.5)     		ty = 4183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4184 / 4183 ti = "13/4184/4183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4184/4183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4184 ÷ 213
    4184 ÷ 8192     		x = 0.5107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4183 ÷ 213
    4183 ÷ 8192     		y = 0.5106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5107421875 × 2 - 1) × π
    0.021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06749515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0667281642711182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06749515} λ = 0.06749515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0667281642711182))-π/2
    2×atan(0.935449455362077)-π/2
    2×0.752058813487621-π/2
    1.50411762697524-1.57079632675     		φ = -0.06667870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06749515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06667870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.820408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4184 KachelY 4183 0.06749515 -0.06667870 3.867187 -3.820408
    Oben rechts KachelX + 1 4185 KachelY 4183 0.06826215 -0.06667870 3.911133 -3.820408
    Unten links KachelX 4184 KachelY + 1 4184 0.06749515 -0.06744397 3.867187 -3.864255
    Unten rechts KachelX + 1 4185 KachelY + 1 4184 0.06826215 -0.06744397 3.911133 -3.864255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06667870--0.06744397) × R
    0.000765270000000012 × 6371000     		dl = 4875.53517000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06667870--0.06744397) × R
    0.000765270000000012 × 6371000     		dr = 4875.53517000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06749515-0.06826215) × cos(-0.06667870) × R
    0.00076699999999999 × 0.997777799000767 × 6371000     		do = 4875.69808815173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06749515-0.06826215) × cos(-0.06744397) × R
    0.00076699999999999 × 0.9977265174318 × 6371000     		du = 4875.44749784192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06667870)-sin(-0.06744397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997777799000767-0.9977265174318)×R²
    abs(0.06826215-0.06749515)×5.12815689674984e-05×R²
    0.00076699999999999×5.12815689674984e-05×6371000²
    0.00076699999999999×5.12815689674984e-05×40589641000000     		ar = 23771027.7862535m²