Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4184 / 12460
↖ ↑ ↗
← N 39.537940°
W134.033203°		 ← 942.13 m → N 39.537940°
W134.022217°		 →
↑
942.21 m
↓
↑
942.21 m
↓
N 39.529466°
W134.033203°		 ← 942.25 m →
887 738 m²		 N 39.529466°
W134.022217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127700805664062 y=0.380264282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127700805664062 × 215)
    floor (0.127700805664062 × 32768)
    floor (4184.5)     		tx = 4184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380264282226562 × 215)
    floor (0.380264282226562 × 32768)
    floor (12460.5)     		ty = 12460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4184 / 12460 ti = "15/4184/12460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4184/12460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4184 ÷ 215
    4184 ÷ 32768     		x = 0.127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12460 ÷ 215
    12460 ÷ 32768     		y = 0.3802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    0.239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.752417576436401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33932070} λ = -2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752417576436401))-π/2
    2×atan(2.12212421754664)-π/2
    2×1.13043177739338-π/2
    2.26086355478677-1.57079632675     		φ = 0.69006723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69006723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.537940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4184 KachelY 12460 -2.33932070 0.69006723 -134.033203 39.537940
    Oben rechts KachelX + 1 4185 KachelY 12460 -2.33912895 0.69006723 -134.022217 39.537940
    Unten links KachelX 4184 KachelY + 1 12461 -2.33932070 0.68991934 -134.033203 39.529466
    Unten rechts KachelX + 1 4185 KachelY + 1 12461 -2.33912895 0.68991934 -134.022217 39.529466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69006723-0.68991934) × R
    0.000147890000000039 × 6371000     		dl = 942.207190000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69006723-0.68991934) × R
    0.000147890000000039 × 6371000     		dr = 942.207190000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33932070--2.33912895) × cos(0.69006723) × R
    0.000191749999999935 × 0.771203218859411 × 6371000     		do = 942.132121884677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33932070--2.33912895) × cos(0.68991934) × R
    0.000191749999999935 × 0.771297355577292 × 6371000     		du = 942.247122994107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69006723)-sin(0.68991934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771203218859411-0.771297355577292)×R²
    abs(-2.33912895--2.33932070)×9.41367178809438e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41367178809438e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41367178809438e-05×40589641000000     		ar = 887737.83822342m²