Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4184 / 12456
↖ ↑ ↗
← N 39.571822°
W134.033203°		 ← 941.67 m → N 39.571822°
W134.022217°		 →
↑
941.70 m
↓
↑
941.70 m
↓
N 39.563353°
W134.033203°		 ← 941.79 m →
886 824 m²		 N 39.563353°
W134.022217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127700805664062 y=0.380142211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127700805664062 × 215)
    floor (0.127700805664062 × 32768)
    floor (4184.5)     		tx = 4184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380142211914062 × 215)
    floor (0.380142211914062 × 32768)
    floor (12456.5)     		ty = 12456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4184 / 12456 ti = "15/4184/12456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4184/12456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4184 ÷ 215
    4184 ÷ 32768     		x = 0.127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12456 ÷ 215
    12456 ÷ 32768     		y = 0.380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    0.23974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.753184566830322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33932070} λ = -2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753184566830322))-π/2
    2×atan(2.12375249079135)-π/2
    2×1.13072745791693-π/2
    2.26145491583386-1.57079632675     		φ = 0.69065859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69065859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.571822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4184 KachelY 12456 -2.33932070 0.69065859 -134.033203 39.571822
    Oben rechts KachelX + 1 4185 KachelY 12456 -2.33912895 0.69065859 -134.022217 39.571822
    Unten links KachelX 4184 KachelY + 1 12457 -2.33932070 0.69051078 -134.033203 39.563353
    Unten rechts KachelX + 1 4185 KachelY + 1 12457 -2.33912895 0.69051078 -134.022217 39.563353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69065859-0.69051078) × R
    0.00014780999999997 × 6371000     		dl = 941.697509999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69065859-0.69051078) × R
    0.00014780999999997 × 6371000     		dr = 941.697509999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33932070--2.33912895) × cos(0.69065859) × R
    0.000191749999999935 × 0.770826630744151 × 6371000     		do = 941.672067061993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33932070--2.33912895) × cos(0.69051078) × R
    0.000191749999999935 × 0.77092078394173 × 6371000     		du = 941.787088303669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69065859)-sin(0.69051078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770826630744151-0.77092078394173)×R²
    abs(-2.33912895--2.33932070)×9.41531975793275e-05×R²
    0.000191749999999935×9.41531975793275e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.41531975793275e-05×40589641000000     		ar = 886824.400011725m²