Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41839 / 10490
↖ ↑ ↗
← N 76.524502°
E 49.828491°		 ← 142.35 m → N 76.524502°
E 49.833985°		 →
↑
142.33 m
↓
↑
142.33 m
↓
N 76.523222°
E 49.828491°		 ← 142.36 m →
20 261 m²		 N 76.523222°
E 49.833985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638420104980469 y=0.160072326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638420104980469 × 216)
    floor (0.638420104980469 × 65536)
    floor (41839.5)     		tx = 41839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160072326660156 × 216)
    floor (0.160072326660156 × 65536)
    floor (10490.5)     		ty = 10490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41839 / 10490 ti = "16/41839/10490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41839/10490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41839 ÷ 216
    41839 ÷ 65536     		x = 0.638412475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10490 ÷ 216
    10490 ÷ 65536     		y = 0.160064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638412475585938 × 2 - 1) × π
    0.276824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86967123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160064697265625 × 2 - 1) × π
    0.67987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13587649947122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86967123} λ = 0.86967123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13587649947122))-π/2
    2×atan(8.46446235317083)-π/2
    2×1.45320041769825-π/2
    2.90640083539651-1.57079632675     		φ = 1.33560451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86967123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.828491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33560451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.524502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41839 KachelY 10490 0.86967123 1.33560451 49.828491 76.524502
    Oben rechts KachelX + 1 41840 KachelY 10490 0.86976711 1.33560451 49.833985 76.524502
    Unten links KachelX 41839 KachelY + 1 10491 0.86967123 1.33558217 49.828491 76.523222
    Unten rechts KachelX + 1 41840 KachelY + 1 10491 0.86976711 1.33558217 49.833985 76.523222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33560451-1.33558217) × R
    2.23400000001206e-05 × 6371000     		dl = 142.328140000768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33560451-1.33558217) × R
    2.23400000001206e-05 × 6371000     		dr = 142.328140000768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86967123-0.86976711) × cos(1.33560451) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233029525811643 × 6371000     		do = 142.346430725647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86967123-0.86976711) × cos(1.33558217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233051250725701 × 6371000     		du = 142.359701421552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33560451)-sin(1.33558217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233029525811643-0.233051250725701)×R²
    abs(0.86976711-0.86967123)×2.17249140585518e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.17249140585518e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.17249140585518e-05×40589641000000     		ar = 20260.8471185195m²