Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41838 / 10498
↖ ↑ ↗
← N 76.514257°
E 49.822998°		 ← 142.44 m → N 76.514257°
E 49.828491°		 →
↑
142.46 m
↓
↑
142.46 m
↓
N 76.512976°
E 49.822998°		 ← 142.45 m →
20 292 m²		 N 76.512976°
E 49.828491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638404846191406 y=0.160194396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638404846191406 × 216)
    floor (0.638404846191406 × 65536)
    floor (41838.5)     		tx = 41838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160194396972656 × 216)
    floor (0.160194396972656 × 65536)
    floor (10498.5)     		ty = 10498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41838 / 10498 ti = "16/41838/10498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41838/10498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41838 ÷ 216
    41838 ÷ 65536     		x = 0.638397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10498 ÷ 216
    10498 ÷ 65536     		y = 0.160186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638397216796875 × 2 - 1) × π
    0.27679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86957536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160186767578125 × 2 - 1) × π
    0.67962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1351095090773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86957536} λ = 0.86957536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1351095090773))-π/2
    2×atan(8.45797268093252)-π/2
    2×1.4531110186582-π/2
    2.90622203731641-1.57079632675     		φ = 1.33542571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86957536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33542571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.514257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41838 KachelY 10498 0.86957536 1.33542571 49.822998 76.514257
    Oben rechts KachelX + 1 41839 KachelY 10498 0.86967123 1.33542571 49.828491 76.514257
    Unten links KachelX 41838 KachelY + 1 10499 0.86957536 1.33540335 49.822998 76.512976
    Unten rechts KachelX + 1 41839 KachelY + 1 10499 0.86967123 1.33540335 49.828491 76.512976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33542571-1.33540335) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dl = 142.455559999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33542571-1.33540335) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dr = 142.455559999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86957536-0.86967123) × cos(1.33542571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233203399661057 × 6371000     		do = 142.437784435392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86957536-0.86967123) × cos(1.33540335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233225143092369 × 6371000     		du = 142.451065057316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33542571)-sin(1.33540335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233203399661057-0.233225143092369)×R²
    abs(0.86967123-0.86957536)×2.17434313118381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17434313118381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17434313118381e-05×40589641000000     		ar = 20292.0002967477m²