Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41838 / 10221
↖ ↑ ↗
← N 76.864556°
E 49.822998°		 ← 138.80 m → N 76.864556°
E 49.828491°		 →
↑
138.82 m
↓
↑
138.82 m
↓
N 76.863308°
E 49.822998°		 ← 138.82 m →
19 270 m²		 N 76.863308°
E 49.828491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638404846191406 y=0.155967712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638404846191406 × 216)
    floor (0.638404846191406 × 65536)
    floor (41838.5)     		tx = 41838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155967712402344 × 216)
    floor (0.155967712402344 × 65536)
    floor (10221.5)     		ty = 10221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41838 / 10221 ti = "16/41838/10221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41838/10221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41838 ÷ 216
    41838 ÷ 65536     		x = 0.638397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10221 ÷ 216
    10221 ÷ 65536     		y = 0.155960083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638397216796875 × 2 - 1) × π
    0.27679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86957536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155960083007812 × 2 - 1) × π
    0.688079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16166655146681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86957536} λ = 0.86957536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16166655146681))-π/2
    2×atan(8.68560060392114)-π/2
    2×1.45616795324847-π/2
    2.91233590649693-1.57079632675     		φ = 1.34153958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86957536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34153958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.864556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41838 KachelY 10221 0.86957536 1.34153958 49.822998 76.864556
    Oben rechts KachelX + 1 41839 KachelY 10221 0.86967123 1.34153958 49.828491 76.864556
    Unten links KachelX 41838 KachelY + 1 10222 0.86957536 1.34151779 49.822998 76.863308
    Unten rechts KachelX + 1 41839 KachelY + 1 10222 0.86967123 1.34151779 49.828491 76.863308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34153958-1.34151779) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dl = 138.824090000844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34153958-1.34151779) × R
    2.17900000001325e-05 × 6371000     		dr = 138.824090000844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86957536-0.86967123) × cos(1.34153958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227253779962753 × 6371000     		do = 138.803829487518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86957536-0.86967123) × cos(1.34151779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227274999785895 × 6371000     		du = 138.816790295974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34153958)-sin(1.34151779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227253779962753-0.227274999785895)×R²
    abs(0.86967123-0.86957536)×2.12198231416827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12198231416827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12198231416827e-05×40589641000000     		ar = 19270.2149540906m²