Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41837 / 10499
↖ ↑ ↗
← N 76.512976°
E 49.817505°		 ← 142.45 m → N 76.512976°
E 49.822998°		 →
↑
142.46 m
↓
↑
142.46 m
↓
N 76.511695°
E 49.817505°		 ← 142.46 m →
20 294 m²		 N 76.511695°
E 49.822998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638389587402344 y=0.160209655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638389587402344 × 216)
    floor (0.638389587402344 × 65536)
    floor (41837.5)     		tx = 41837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160209655761719 × 216)
    floor (0.160209655761719 × 65536)
    floor (10499.5)     		ty = 10499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41837 / 10499 ti = "16/41837/10499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41837/10499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41837 ÷ 216
    41837 ÷ 65536     		x = 0.638381958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10499 ÷ 216
    10499 ÷ 65536     		y = 0.160202026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638381958007812 × 2 - 1) × π
    0.276763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86947949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160202026367188 × 2 - 1) × π
    0.679595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13501363527806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86947949} λ = 0.86947949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13501363527806))-π/2
    2×atan(8.45716182182843)-π/2
    2×1.45309983908914-π/2
    2.90619967817828-1.57079632675     		φ = 1.33540335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86947949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.817505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33540335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.512976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41837 KachelY 10499 0.86947949 1.33540335 49.817505 76.512976
    Oben rechts KachelX + 1 41838 KachelY 10499 0.86957536 1.33540335 49.822998 76.512976
    Unten links KachelX 41837 KachelY + 1 10500 0.86947949 1.33538099 49.817505 76.511695
    Unten rechts KachelX + 1 41838 KachelY + 1 10500 0.86957536 1.33538099 49.822998 76.511695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33540335-1.33538099) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dl = 142.455559999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33540335-1.33538099) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dr = 142.455559999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86947949-0.86957536) × cos(1.33540335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233225143092369 × 6371000     		do = 142.451065057316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86947949-0.86957536) × cos(1.33538099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233246886407075 × 6371000     		du = 142.464345608017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33540335)-sin(1.33538099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233225143092369-0.233246886407075)×R²
    abs(0.86957536-0.86947949)×2.17433147063628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17433147063628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17433147063628e-05×40589641000000     		ar = 20293.8921903105m²