Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41834 / 10502
↖ ↑ ↗
← N 76.509132°
E 49.801025°		 ← 142.51 m → N 76.509132°
E 49.806519°		 →
↑
142.52 m
↓
↑
142.52 m
↓
N 76.507850°
E 49.801025°		 ← 142.52 m →
20 311 m²		 N 76.507850°
E 49.806519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638343811035156 y=0.160255432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638343811035156 × 216)
    floor (0.638343811035156 × 65536)
    floor (41834.5)     		tx = 41834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160255432128906 × 216)
    floor (0.160255432128906 × 65536)
    floor (10502.5)     		ty = 10502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41834 / 10502 ti = "16/41834/10502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41834/10502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41834 ÷ 216
    41834 ÷ 65536     		x = 0.638336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10502 ÷ 216
    10502 ÷ 65536     		y = 0.160247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638336181640625 × 2 - 1) × π
    0.27667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86919186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160247802734375 × 2 - 1) × π
    0.67950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13472601388034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86919186} λ = 0.86919186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13472601388034))-π/2
    2×atan(8.45472971090482)-π/2
    2×1.45306629412767-π/2
    2.90613258825534-1.57079632675     		φ = 1.33533626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86919186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.801025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33533626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.509132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41834 KachelY 10502 0.86919186 1.33533626 49.801025 76.509132
    Oben rechts KachelX + 1 41835 KachelY 10502 0.86928774 1.33533626 49.806519 76.509132
    Unten links KachelX 41834 KachelY + 1 10503 0.86919186 1.33531389 49.801025 76.507850
    Unten rechts KachelX + 1 41835 KachelY + 1 10503 0.86928774 1.33531389 49.806519 76.507850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33533626-1.33531389) × R
    2.23700000001603e-05 × 6371000     		dl = 142.519270001021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33533626-1.33531389) × R
    2.23700000001603e-05 × 6371000     		dr = 142.519270001021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86919186-0.86928774) × cos(1.33533626) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.233290382410699 × 6371000     		do = 142.505775365248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86919186-0.86928774) × cos(1.33531389) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23331213509949 × 6371000     		du = 142.51906302739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33533626)-sin(1.33531389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233290382410699-0.23331213509949)×R²
    abs(0.86928774-0.86919186)×2.17526887916486e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.17526887916486e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.17526887916486e-05×40589641000000     		ar = 20310.7659508155m²