Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41832 / 10491
↖ ↑ ↗
← N 76.523222°
E 49.790039°		 ← 142.34 m → N 76.523222°
E 49.795532°		 →
↑
142.39 m
↓
↑
142.39 m
↓
N 76.521941°
E 49.790039°		 ← 142.36 m →
20 270 m²		 N 76.521941°
E 49.795532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638313293457031 y=0.160087585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638313293457031 × 216)
    floor (0.638313293457031 × 65536)
    floor (41832.5)     		tx = 41832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160087585449219 × 216)
    floor (0.160087585449219 × 65536)
    floor (10491.5)     		ty = 10491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41832 / 10491 ti = "16/41832/10491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41832/10491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41832 ÷ 216
    41832 ÷ 65536     		x = 0.6383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10491 ÷ 216
    10491 ÷ 65536     		y = 0.160079956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6383056640625 × 2 - 1) × π
    0.276611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86900012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160079956054688 × 2 - 1) × π
    0.679840087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13578062567198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86900012} λ = 0.86900012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13578062567198))-π/2
    2×atan(8.46365087190703)-π/2
    2×1.45318924646444-π/2
    2.90637849292888-1.57079632675     		φ = 1.33558217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86900012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33558217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.523222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41832 KachelY 10491 0.86900012 1.33558217 49.790039 76.523222
    Oben rechts KachelX + 1 41833 KachelY 10491 0.86909599 1.33558217 49.795532 76.523222
    Unten links KachelX 41832 KachelY + 1 10492 0.86900012 1.33555982 49.790039 76.521941
    Unten rechts KachelX + 1 41833 KachelY + 1 10492 0.86909599 1.33555982 49.795532 76.521941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33558217-1.33555982) × R
    2.23499999998378e-05 × 6371000     		dl = 142.391849998966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33558217-1.33555982) × R
    2.23499999998378e-05 × 6371000     		dr = 142.391849998966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86900012-0.86909599) × cos(1.33558217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233051250725701 × 6371000     		do = 142.344853726459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86900012-0.86909599) × cos(1.33555982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233072985248042 × 6371000     		du = 142.358128906891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33558217)-sin(1.33555982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233051250725701-0.233072985248042)×R²
    abs(0.86909599-0.86900012)×2.17345223405274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17345223405274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17345223405274e-05×40589641000000     		ar = 20269.6921996709m²