Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41830 / 9846
↖ ↑ ↗
← N 77.324579°
E 49.779053°		 ← 134.02 m → N 77.324579°
E 49.784546°		 →
↑
134.05 m
↓
↑
134.05 m
↓
N 77.323374°
E 49.779053°		 ← 134.04 m →
17 966 m²		 N 77.323374°
E 49.784546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638282775878906 y=0.150245666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638282775878906 × 216)
    floor (0.638282775878906 × 65536)
    floor (41830.5)     		tx = 41830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150245666503906 × 216)
    floor (0.150245666503906 × 65536)
    floor (9846.5)     		ty = 9846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41830 / 9846 ti = "16/41830/9846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41830/9846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41830 ÷ 216
    41830 ÷ 65536     		x = 0.638275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9846 ÷ 216
    9846 ÷ 65536     		y = 0.150238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638275146484375 × 2 - 1) × π
    0.27655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86880837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150238037109375 × 2 - 1) × π
    0.69952392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19761922618185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86880837} λ = 0.86880837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19761922618185))-π/2
    2×atan(9.00355254056762)-π/2
    2×1.46018241240056-π/2
    2.92036482480111-1.57079632675     		φ = 1.34956850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86880837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.779053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34956850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.324579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41830 KachelY 9846 0.86880837 1.34956850 49.779053 77.324579
    Oben rechts KachelX + 1 41831 KachelY 9846 0.86890424 1.34956850 49.784546 77.324579
    Unten links KachelX 41830 KachelY + 1 9847 0.86880837 1.34954746 49.779053 77.323374
    Unten rechts KachelX + 1 41831 KachelY + 1 9847 0.86890424 1.34954746 49.784546 77.323374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34956850-1.34954746) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dl = 134.045840000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34956850-1.34954746) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dr = 134.045840000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86880837-0.86890424) × cos(1.34956850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219427691320205 × 6371000     		do = 134.023750257713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86880837-0.86890424) × cos(1.34954746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219448218500864 × 6371000     		du = 134.036288008612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34956850)-sin(1.34954746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219427691320205-0.219448218500864)×R²
    abs(0.86890424-0.86880837)×2.05271806585916e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05271806585916e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05271806585916e-05×40589641000000     		ar = 17966.166500383m²