Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4183 / 12512
↖ ↑ ↗
← N 39.095963°
W134.044190°		 ← 948.10 m → N 39.095963°
W134.033203°		 →
↑
948.20 m
↓
↑
948.20 m
↓
N 39.087436°
W134.044190°		 ← 948.22 m →
899 042 m²		 N 39.087436°
W134.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127670288085938 y=0.381851196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127670288085938 × 215)
    floor (0.127670288085938 × 32768)
    floor (4183.5)     		tx = 4183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381851196289062 × 215)
    floor (0.381851196289062 × 32768)
    floor (12512.5)     		ty = 12512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4183 / 12512 ti = "15/4183/12512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4183/12512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4183 ÷ 215
    4183 ÷ 32768     		x = 0.127655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12512 ÷ 215
    12512 ÷ 32768     		y = 0.3818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.74468994140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33951245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    0.236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.74244670131543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33951245} λ = -2.33951245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74244670131543))-π/2
    2×atan(2.10106992129331)-π/2
    2×1.12657480212731-π/2
    2.25314960425463-1.57079632675     		φ = 0.68235328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33951245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.044190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68235328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.095963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4183 KachelY 12512 -2.33951245 0.68235328 -134.044190 39.095963
    Oben rechts KachelX + 1 4184 KachelY 12512 -2.33932070 0.68235328 -134.033203 39.095963
    Unten links KachelX 4183 KachelY + 1 12513 -2.33951245 0.68220445 -134.044190 39.087436
    Unten rechts KachelX + 1 4184 KachelY + 1 12513 -2.33932070 0.68220445 -134.033203 39.087436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68235328-0.68220445) × R
    0.000148829999999989 × 6371000     		dl = 948.195929999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68235328-0.68220445) × R
    0.000148829999999989 × 6371000     		dr = 948.195929999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33951245--2.33932070) × cos(0.68235328) × R
    0.000191749999999935 × 0.776090840999745 × 6371000     		do = 948.103032930477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33951245--2.33932070) × cos(0.68220445) × R
    0.000191749999999935 × 0.776184687746463 × 6371000     		du = 948.217679799752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68235328)-sin(0.68220445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776090840999745-0.776184687746463)×R²
    abs(-2.33932070--2.33951245)×9.38467467179738e-05×R²
    0.000191749999999935×9.38467467179738e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.38467467179738e-05×40589641000000     		ar = 899041.792551773m²