Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41829 / 9891
↖ ↑ ↗
← N 77.270224°
E 49.773559°		 ← 134.60 m → N 77.270224°
E 49.779053°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
N 77.269013°
E 49.773559°		 ← 134.62 m →
18 121 m²		 N 77.269013°
E 49.779053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638267517089844 y=0.150932312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638267517089844 × 216)
    floor (0.638267517089844 × 65536)
    floor (41829.5)     		tx = 41829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150932312011719 × 216)
    floor (0.150932312011719 × 65536)
    floor (9891.5)     		ty = 9891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41829 / 9891 ti = "16/41829/9891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41829/9891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41829 ÷ 216
    41829 ÷ 65536     		x = 0.638259887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9891 ÷ 216
    9891 ÷ 65536     		y = 0.150924682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638259887695312 × 2 - 1) × π
    0.276519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86871249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150924682617188 × 2 - 1) × π
    0.698150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19330490521605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86871249} λ = 0.86871249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19330490521605))-π/2
    2×atan(8.96479199790804)-π/2
    2×1.45970807413651-π/2
    2.91941614827302-1.57079632675     		φ = 1.34861982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86871249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.773559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34861982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.270224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41829 KachelY 9891 0.86871249 1.34861982 49.773559 77.270224
    Oben rechts KachelX + 1 41830 KachelY 9891 0.86880837 1.34861982 49.779053 77.270224
    Unten links KachelX 41829 KachelY + 1 9892 0.86871249 1.34859869 49.773559 77.269013
    Unten rechts KachelX + 1 41830 KachelY + 1 9892 0.86880837 1.34859869 49.779053 77.269013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34861982-1.34859869) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34861982-1.34859869) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86871249-0.86880837) × cos(1.34861982) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.220353151936962 × 6371000     		do = 134.603048983426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86871249-0.86880837) × cos(1.34859869) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.220373762515749 × 6371000     		du = 134.615638985981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34861982)-sin(1.34859869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220353151936962-0.220373762515749)×R²
    abs(0.86880837-0.86871249)×2.06105787868005e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.06105787868005e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.06105787868005e-05×40589641000000     		ar = 18121.006238661m²