Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41828 / 10497
↖ ↑ ↗
← N 76.515538°
E 49.768066°		 ← 142.42 m → N 76.515538°
E 49.773559°		 →
↑
142.46 m
↓
↑
142.46 m
↓
N 76.514257°
E 49.768066°		 ← 142.44 m →
20 290 m²		 N 76.514257°
E 49.773559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638252258300781 y=0.160179138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638252258300781 × 216)
    floor (0.638252258300781 × 65536)
    floor (41828.5)     		tx = 41828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160179138183594 × 216)
    floor (0.160179138183594 × 65536)
    floor (10497.5)     		ty = 10497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41828 / 10497 ti = "16/41828/10497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41828/10497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41828 ÷ 216
    41828 ÷ 65536     		x = 0.63824462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10497 ÷ 216
    10497 ÷ 65536     		y = 0.160171508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63824462890625 × 2 - 1) × π
    0.2764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86861662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160171508789062 × 2 - 1) × π
    0.679656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13520538287654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86861662} λ = 0.86861662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13520538287654))-π/2
    2×atan(8.45878361778049)-π/2
    2×1.45312219718504-π/2
    2.90624439437008-1.57079632675     		φ = 1.33544807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86861662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.768066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33544807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.515538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41828 KachelY 10497 0.86861662 1.33544807 49.768066 76.515538
    Oben rechts KachelX + 1 41829 KachelY 10497 0.86871249 1.33544807 49.773559 76.515538
    Unten links KachelX 41828 KachelY + 1 10498 0.86861662 1.33542571 49.768066 76.514257
    Unten rechts KachelX + 1 41829 KachelY + 1 10498 0.86871249 1.33542571 49.773559 76.514257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33544807-1.33542571) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dl = 142.455559999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33544807-1.33542571) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dr = 142.455559999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86861662-0.86871249) × cos(1.33544807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23318165611315 × 6371000     		do = 142.424503742255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86861662-0.86871249) × cos(1.33542571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233203399661057 × 6371000     		du = 142.437784435392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33544807)-sin(1.33542571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23318165611315-0.233203399661057)×R²
    abs(0.86871249-0.86861662)×2.17435479064332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17435479064332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17435479064332e-05×40589641000000     		ar = 20290.1083936803m²