Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41827 / 9892
↖ ↑ ↗
← N 77.269013°
E 49.762573°		 ← 134.60 m → N 77.269013°
E 49.768066°		 →
↑
134.56 m
↓
↑
134.56 m
↓
N 77.267803°
E 49.762573°		 ← 134.61 m →
18 112 m²		 N 77.267803°
E 49.768066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638236999511719 y=0.150947570800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638236999511719 × 216)
    floor (0.638236999511719 × 65536)
    floor (41827.5)     		tx = 41827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150947570800781 × 216)
    floor (0.150947570800781 × 65536)
    floor (9892.5)     		ty = 9892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41827 / 9892 ti = "16/41827/9892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41827/9892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41827 ÷ 216
    41827 ÷ 65536     		x = 0.638229370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9892 ÷ 216
    9892 ÷ 65536     		y = 0.15093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638229370117188 × 2 - 1) × π
    0.276458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86852075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15093994140625 × 2 - 1) × π
    0.6981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19320903141681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86852075} λ = 0.86852075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19320903141681))-π/2
    2×atan(8.96393255043971)-π/2
    2×1.45969751059573-π/2
    2.91939502119145-1.57079632675     		φ = 1.34859869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86852075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.762573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34859869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.269013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41827 KachelY 9892 0.86852075 1.34859869 49.762573 77.269013
    Oben rechts KachelX + 1 41828 KachelY 9892 0.86861662 1.34859869 49.768066 77.269013
    Unten links KachelX 41827 KachelY + 1 9893 0.86852075 1.34857757 49.762573 77.267803
    Unten rechts KachelX + 1 41828 KachelY + 1 9893 0.86861662 1.34857757 49.768066 77.267803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34859869-1.34857757) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dl = 134.555519999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34859869-1.34857757) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dr = 134.555519999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86852075-0.86861662) × cos(1.34859869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220373762515749 × 6371000     		do = 134.601598973501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86852075-0.86861662) × cos(1.34857757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220394363242035 × 6371000     		du = 134.61418164517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34859869)-sin(1.34857757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220373762515749-0.220394363242035)×R²
    abs(0.86861662-0.86852075)×2.06007262865682e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06007262865682e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06007262865682e-05×40589641000000     		ar = 18112.2346773924m²