Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41826 / 10015
↖ ↑ ↗
← N 77.119256°
E 49.757080°		 ← 136.17 m → N 77.119256°
E 49.762573°		 →
↑
136.15 m
↓
↑
136.15 m
↓
N 77.118032°
E 49.757080°		 ← 136.19 m →
18 541 m²		 N 77.118032°
E 49.762573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638221740722656 y=0.152824401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638221740722656 × 216)
    floor (0.638221740722656 × 65536)
    floor (41826.5)     		tx = 41826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152824401855469 × 216)
    floor (0.152824401855469 × 65536)
    floor (10015.5)     		ty = 10015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41826 / 10015 ti = "16/41826/10015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41826/10015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41826 ÷ 216
    41826 ÷ 65536     		x = 0.638214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10015 ÷ 216
    10015 ÷ 65536     		y = 0.152816772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638214111328125 × 2 - 1) × π
    0.27642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86842487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152816772460938 × 2 - 1) × π
    0.694366455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18141655411028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86842487} λ = 0.86842487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18141655411028))-π/2
    2×atan(8.85884641001691)-π/2
    2×1.45839063399214-π/2
    2.91678126798427-1.57079632675     		φ = 1.34598494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86842487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.757080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34598494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.119256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41826 KachelY 10015 0.86842487 1.34598494 49.757080 77.119256
    Oben rechts KachelX + 1 41827 KachelY 10015 0.86852075 1.34598494 49.762573 77.119256
    Unten links KachelX 41826 KachelY + 1 10016 0.86842487 1.34596357 49.757080 77.118032
    Unten rechts KachelX + 1 41827 KachelY + 1 10016 0.86852075 1.34596357 49.762573 77.118032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34598494-1.34596357) × R
    2.13699999997985e-05 × 6371000     		dl = 136.148269998716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34598494-1.34596357) × R
    2.13699999997985e-05 × 6371000     		dr = 136.148269998716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86842487-0.86852075) × cos(1.34598494) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222922499123488 × 6371000     		do = 136.172538514792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86842487-0.86852075) × cos(1.34596357) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222943331321548 × 6371000     		du = 136.185263893809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34598494)-sin(1.34596357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222922499123488-0.222943331321548)×R²
    abs(0.86852075-0.86842487)×2.08321980607884e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.08321980607884e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.08321980607884e-05×40589641000000     		ar = 18540.5218097499m²