Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41824 / 9888
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
E 49.746094°		 ← 134.55 m → N 77.273855°
E 49.751587°		 →
↑
134.56 m
↓
↑
134.56 m
↓
N 77.272645°
E 49.746094°		 ← 134.56 m →
18 105 m²		 N 77.272645°
E 49.751587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638191223144531 y=0.150886535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638191223144531 × 216)
    floor (0.638191223144531 × 65536)
    floor (41824.5)     		tx = 41824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150886535644531 × 216)
    floor (0.150886535644531 × 65536)
    floor (9888.5)     		ty = 9888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41824 / 9888 ti = "16/41824/9888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41824/9888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41824 ÷ 216
    41824 ÷ 65536     		x = 0.63818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9888 ÷ 216
    9888 ÷ 65536     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63818359375 × 2 - 1) × π
    0.2763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86823313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86823313} λ = 0.86823313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86823313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41824 KachelY 9888 0.86823313 1.34868319 49.746094 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 41825 KachelY 9888 0.86832900 1.34868319 49.751587 77.273855
    Unten links KachelX 41824 KachelY + 1 9889 0.86823313 1.34866207 49.746094 77.272645
    Unten rechts KachelX + 1 41825 KachelY + 1 9889 0.86832900 1.34866207 49.751587 77.272645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34866207) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dl = 134.555519999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34866207) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dr = 134.555519999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86823313-0.86832900) × cos(1.34868319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 134.55125577082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86823313-0.86832900) × cos(1.34866207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220311940238544 × 6371000     		du = 134.563838682671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34866207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220311940238544)×R²
    abs(0.86832900-0.86823313)×2.06011195192368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06011195192368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06011195192368e-05×40589641000000     		ar = 18105.4607373821m²