Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41822 / 10019
↖ ↑ ↗
← N 77.114358°
E 49.735108°		 ← 136.21 m → N 77.114358°
E 49.740600°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
N 77.113132°
E 49.735108°		 ← 136.22 m →
18 563 m²		 N 77.113132°
E 49.740600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638160705566406 y=0.152885437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638160705566406 × 216)
    floor (0.638160705566406 × 65536)
    floor (41822.5)     		tx = 41822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152885437011719 × 216)
    floor (0.152885437011719 × 65536)
    floor (10019.5)     		ty = 10019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41822 / 10019 ti = "16/41822/10019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41822/10019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41822 ÷ 216
    41822 ÷ 65536     		x = 0.638153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10019 ÷ 216
    10019 ÷ 65536     		y = 0.152877807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638153076171875 × 2 - 1) × π
    0.27630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86804138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152877807617188 × 2 - 1) × π
    0.694244384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18103305891331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86804138} λ = 0.86804138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18103305891331))-π/2
    2×atan(8.85544973631371)-π/2
    2×1.45834788114759-π/2
    2.91669576229517-1.57079632675     		φ = 1.34589944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86804138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.735108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34589944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.114358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41822 KachelY 10019 0.86804138 1.34589944 49.735108 77.114358
    Oben rechts KachelX + 1 41823 KachelY 10019 0.86813725 1.34589944 49.740600 77.114358
    Unten links KachelX 41822 KachelY + 1 10020 0.86804138 1.34587805 49.735108 77.113132
    Unten rechts KachelX + 1 41823 KachelY + 1 10020 0.86813725 1.34587805 49.740600 77.113132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34589944-1.34587805) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dl = 136.275689999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34589944-1.34587805) × R
    2.1389999999899e-05 × 6371000     		dr = 136.275689999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86804138-0.86813725) × cos(1.34589944) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223005846801157 × 6371000     		do = 136.209243864638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86804138-0.86813725) × cos(1.34587805) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22302669808806 × 6371000     		du = 136.221979575667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34589944)-sin(1.34587805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223005846801157-0.22302669808806)×R²
    abs(0.86813725-0.86804138)×2.08512869029898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08512869029898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08512869029898e-05×40589641000000     		ar = 18562.8764766807m²