Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41821 / 9949
↖ ↑ ↗
← N 77.199828°
E 49.729614°		 ← 135.34 m → N 77.199828°
E 49.735108°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
N 77.198611°
E 49.729614°		 ← 135.35 m →
18 314 m²		 N 77.198611°
E 49.735108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638145446777344 y=0.151817321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638145446777344 × 216)
    floor (0.638145446777344 × 65536)
    floor (41821.5)     		tx = 41821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151817321777344 × 216)
    floor (0.151817321777344 × 65536)
    floor (9949.5)     		ty = 9949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41821 / 9949 ti = "16/41821/9949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41821/9949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41821 ÷ 216
    41821 ÷ 65536     		x = 0.638137817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9949 ÷ 216
    9949 ÷ 65536     		y = 0.151809692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638137817382812 × 2 - 1) × π
    0.276275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86794550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151809692382812 × 2 - 1) × π
    0.696380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18774422486012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86794550} λ = 0.86794550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18774422486012))-π/2
    2×atan(8.91507999951278)-π/2
    2×1.45909375304015-π/2
    2.9181875060803-1.57079632675     		φ = 1.34739118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86794550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.729614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34739118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.199828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41821 KachelY 9949 0.86794550 1.34739118 49.729614 77.199828
    Oben rechts KachelX + 1 41822 KachelY 9949 0.86804138 1.34739118 49.735108 77.199828
    Unten links KachelX 41821 KachelY + 1 9950 0.86794550 1.34736994 49.729614 77.198611
    Unten rechts KachelX + 1 41822 KachelY + 1 9950 0.86804138 1.34736994 49.735108 77.198611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34739118-1.34736994) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dl = 135.320039999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34739118-1.34736994) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dr = 135.320039999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86794550-0.86804138) × cos(1.34739118) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.221551425543043 × 6371000     		do = 135.335016188989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86794550-0.86804138) × cos(1.34736994) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.221572137651222 × 6371000     		du = 135.347668210924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34739118)-sin(1.34736994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221551425543043-0.221572137651222)×R²
    abs(0.86804138-0.86794550)×2.07121081796102e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.07121081796102e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.07121081796102e-05×40589641000000     		ar = 18314.3958405511m²