Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4182 / 3063
↖ ↑ ↗
← N 41.277806°
E  3.779297°		 ← 3 672.30 m → N 41.277806°
E  3.823242°		 →
↑
3 673.20 m
↓
↑
3 673.20 m
↓
N 41.244773°
E  3.779297°		 ← 3 674.15 m →
13 492 491 m²		 N 41.244773°
E  3.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51055908203125 y=0.37396240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51055908203125 × 213)
    floor (0.51055908203125 × 8192)
    floor (4182.5)     		tx = 4182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37396240234375 × 213)
    floor (0.37396240234375 × 8192)
    floor (3063.5)     		ty = 3063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4182 / 3063 ti = "13/4182/3063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4182/3063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4182 ÷ 213
    4182 ÷ 8192     		x = 0.510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3063 ÷ 213
    3063 ÷ 8192     		y = 0.3739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510498046875 × 2 - 1) × π
    0.02099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06596117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3739013671875 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.792301076920288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06596117} λ = 0.06596117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792301076920288))-π/2
    2×atan(2.20847244883807)-π/2
    2×1.14561497881735-π/2
    2.2912299576347-1.57079632675     		φ = 0.72043363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06596117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.779297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72043363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.277806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4182 KachelY 3063 0.06596117 0.72043363 3.779297 41.277806
    Oben rechts KachelX + 1 4183 KachelY 3063 0.06672816 0.72043363 3.823242 41.277806
    Unten links KachelX 4182 KachelY + 1 3064 0.06596117 0.71985708 3.779297 41.244773
    Unten rechts KachelX + 1 4183 KachelY + 1 3064 0.06672816 0.71985708 3.823242 41.244773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72043363-0.71985708) × R
    0.000576550000000009 × 6371000     		dl = 3673.20005000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72043363-0.71985708) × R
    0.000576550000000009 × 6371000     		dr = 3673.20005000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06596117-0.06672816) × cos(0.72043363) × R
    0.000766989999999995 × 0.751519729491663 × 6371000     		do = 3672.2961154636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06596117-0.06672816) × cos(0.71985708) × R
    0.000766989999999995 × 0.751899960719653 × 6371000     		du = 3674.15411280782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72043363)-sin(0.71985708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751519729491663-0.751899960719653)×R²
    abs(0.06672816-0.06596117)×0.00038023122798958×R²
    0.000766989999999995×0.00038023122798958×6371000²
    0.000766989999999995×0.00038023122798958×40589641000000     		ar = 13492491.0466595m²