Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41818 / 9966
↖ ↑ ↗
← N 77.179122°
E 49.713135°		 ← 135.55 m → N 77.179122°
E 49.718628°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
N 77.177903°
E 49.713135°		 ← 135.56 m →
18 378 m²		 N 77.177903°
E 49.718628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638099670410156 y=0.152076721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638099670410156 × 216)
    floor (0.638099670410156 × 65536)
    floor (41818.5)     		tx = 41818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152076721191406 × 216)
    floor (0.152076721191406 × 65536)
    floor (9966.5)     		ty = 9966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41818 / 9966 ti = "16/41818/9966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41818/9966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41818 ÷ 216
    41818 ÷ 65536     		x = 0.638092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9966 ÷ 216
    9966 ÷ 65536     		y = 0.152069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638092041015625 × 2 - 1) × π
    0.27618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86765788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152069091796875 × 2 - 1) × π
    0.69586181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18611437027304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86765788} λ = 0.86765788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18611437027304))-π/2
    2×atan(8.90056155017593)-π/2
    2×1.4589130611866-π/2
    2.9178261223732-1.57079632675     		φ = 1.34702980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86765788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34702980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.179122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41818 KachelY 9966 0.86765788 1.34702980 49.713135 77.179122
    Oben rechts KachelX + 1 41819 KachelY 9966 0.86775376 1.34702980 49.718628 77.179122
    Unten links KachelX 41818 KachelY + 1 9967 0.86765788 1.34700852 49.713135 77.177903
    Unten rechts KachelX + 1 41819 KachelY + 1 9967 0.86775376 1.34700852 49.718628 77.177903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34702980-1.34700852) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dl = 135.574880000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34702980-1.34700852) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dr = 135.574880000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86765788-0.86775376) × cos(1.34702980) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221903810301827 × 6371000     		do = 135.550270940578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86765788-0.86775376) × cos(1.34700852) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221924559710564 × 6371000     		du = 135.562945747614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34702980)-sin(1.34700852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221903810301827-0.221924559710564)×R²
    abs(0.86775376-0.86765788)×2.07494087368643e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.07494087368643e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.07494087368643e-05×40589641000000     		ar = 18378.0709099787m²