Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41817 / 9945
↖ ↑ ↗
← N 77.204695°
E 49.707642°		 ← 135.27 m → N 77.204695°
E 49.713135°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
N 77.203478°
E 49.707642°		 ← 135.28 m →
18 306 m²		 N 77.203478°
E 49.713135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638084411621094 y=0.151756286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638084411621094 × 216)
    floor (0.638084411621094 × 65536)
    floor (41817.5)     		tx = 41817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151756286621094 × 216)
    floor (0.151756286621094 × 65536)
    floor (9945.5)     		ty = 9945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41817 / 9945 ti = "16/41817/9945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41817/9945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41817 ÷ 216
    41817 ÷ 65536     		x = 0.638076782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9945 ÷ 216
    9945 ÷ 65536     		y = 0.151748657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638076782226562 × 2 - 1) × π
    0.276153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86756201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151748657226562 × 2 - 1) × π
    0.696502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18812772005708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86756201} λ = 0.86756201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18812772005708))-π/2
    2×atan(8.91849954552094)-π/2
    2×1.45913622705163-π/2
    2.91827245410326-1.57079632675     		φ = 1.34747613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86756201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.707642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34747613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.204695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41817 KachelY 9945 0.86756201 1.34747613 49.707642 77.204695
    Oben rechts KachelX + 1 41818 KachelY 9945 0.86765788 1.34747613 49.713135 77.204695
    Unten links KachelX 41817 KachelY + 1 9946 0.86756201 1.34745489 49.707642 77.203478
    Unten rechts KachelX + 1 41818 KachelY + 1 9946 0.86765788 1.34745489 49.713135 77.203478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34747613-1.34745489) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dl = 135.320039999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34747613-1.34745489) × R
    2.12399999999224e-05 × 6371000     		dr = 135.320039999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86756201-0.86765788) × cos(1.34747613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221468585862591 × 6371000     		do = 135.270303684062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86756201-0.86765788) × cos(1.34745489) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221489298370468 × 6371000     		du = 135.28295463056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34747613)-sin(1.34745489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221468585862591-0.221489298370468)×R²
    abs(0.86765788-0.86756201)×2.07125078772186e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07125078772186e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07125078772186e-05×40589641000000     		ar = 18305.6388691514m²