Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 41816 / 10030
↖ ↑ ↗
← N 77.100875°
E 49.702149°		 ← 136.35 m → N 77.100875°
E 49.707642°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
N 77.099649°
E 49.702149°		 ← 136.36 m →
18 591 m²		 N 77.099649°
E 49.707642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638069152832031 y=0.153053283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638069152832031 × 216)
    floor (0.638069152832031 × 65536)
    floor (41816.5)     		tx = 41816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153053283691406 × 216)
    floor (0.153053283691406 × 65536)
    floor (10030.5)     		ty = 10030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41816 / 10030 ti = "16/41816/10030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41816/10030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41816 ÷ 216
    41816 ÷ 65536     		x = 0.6380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10030 ÷ 216
    10030 ÷ 65536     		y = 0.153045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6380615234375 × 2 - 1) × π
    0.276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86746614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153045654296875 × 2 - 1) × π
    0.69390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17997844712167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86746614} λ = 0.86746614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17997844712167))-π/2
    2×atan(8.84611559741311)-π/2
    2×1.45823022838222-π/2
    2.91646045676445-1.57079632675     		φ = 1.34566413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86746614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34566413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.100875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41816 KachelY 10030 0.86746614 1.34566413 49.702149 77.100875
    Oben rechts KachelX + 1 41817 KachelY 10030 0.86756201 1.34566413 49.707642 77.100875
    Unten links KachelX 41816 KachelY + 1 10031 0.86746614 1.34564273 49.702149 77.099649
    Unten rechts KachelX + 1 41817 KachelY + 1 10031 0.86756201 1.34564273 49.707642 77.099649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34566413-1.34564273) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dl = 136.339400000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34566413-1.34564273) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dr = 136.339400000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86746614-0.86756201) × cos(1.34566413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223235224838506 × 6371000     		do = 136.349345164557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86746614-0.86756201) × cos(1.34564273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223256084749927 × 6371000     		du = 136.362086143336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34566413)-sin(1.34564273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223235224838506-0.223256084749927)×R²
    abs(0.86756201-0.86746614)×2.08599114206176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08599114206176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08599114206176e-05×40589641000000     		ar = 18590.6564595149m²