Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 41815 / 9955
↖ ↑ ↗
← N 77.192524°
E 49.696655°		 ← 135.41 m → N 77.192524°
E 49.702149°		 →
↑
135.45 m
↓
↑
135.45 m
↓
N 77.191306°
E 49.696655°		 ← 135.42 m →
18 342 m²		 N 77.191306°
E 49.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 41815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638053894042969 y=0.151908874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638053894042969 × 216)
    floor (0.638053894042969 × 65536)
    floor (41815.5)     		tx = 41815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151908874511719 × 216)
    floor (0.151908874511719 × 65536)
    floor (9955.5)     		ty = 9955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 41815 / 9955 ti = "16/41815/9955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/41815/9955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 41815 ÷ 216
    41815 ÷ 65536     		x = 0.638046264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9955 ÷ 216
    9955 ÷ 65536     		y = 0.151901245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638046264648438 × 2 - 1) × π
    0.276092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86737026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151901245117188 × 2 - 1) × π
    0.696197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18716898206468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86737026} λ = 0.86737026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18716898206468))-π/2
    2×atan(8.90995313870853)-π/2
    2×1.4590300122335-π/2
    2.91806002446699-1.57079632675     		φ = 1.34726370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86737026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.696655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34726370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.192524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 41815 KachelY 9955 0.86737026 1.34726370 49.696655 77.192524
    Oben rechts KachelX + 1 41816 KachelY 9955 0.86746614 1.34726370 49.702149 77.192524
    Unten links KachelX 41815 KachelY + 1 9956 0.86737026 1.34724244 49.696655 77.191306
    Unten rechts KachelX + 1 41816 KachelY + 1 9956 0.86746614 1.34724244 49.702149 77.191306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34726370-1.34724244) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dl = 135.447460000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34726370-1.34724244) × R
    2.12600000000229e-05 × 6371000     		dr = 135.447460000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86737026-0.86746614) × cos(1.34726370) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221675735697359 × 6371000     		do = 135.410951230888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86737026-0.86746614) × cos(1.34724244) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.221696466707767 × 6371000     		du = 135.423614799278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34726370)-sin(1.34724244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221675735697359-0.221696466707767)×R²
    abs(0.86746614-0.86737026)×2.07310104086145e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.07310104086145e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.07310104086145e-05×40589641000000     		ar = 18341.9270251244m²